专题13 数列的综合应用-备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

学科网（北京）股份有限公司 专题13 数列的综合应用 第一部分 真题分类 1. 如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，设若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】解：若且，则，，为原位大三和弦， 即有，，；，，；，，；，，；，，，共5个； 若且，则，，为原位小三和弦， 可得，，；，，；，，；，，；，，，共5个， 总计10个． 故选：C． 2. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是     A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 【答案】A 【解析】解：由题意可知，数列可看作：第一项，第二项：，第三项：，，第n项：， 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，n， 总共的项数为， 所有项数的和为 ， 由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可， 则，解得：， 总共有，不满足， ，解得：， 总共有，不满足， ，解得：， 总共有，不满足， ，解得：， 总共有，满足， 该款软件的激活码是440． 故选A．   3. 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．已知数列的前n项和，则的值是______． 【答案】4 【解析】解：因为的前n项和， 因为是公差为d的等差数列，设首项为；是公比为q的等比数列，设首项为， 所以的通项公式，所以其前n项和：，  中，当公比时，其前n项和， 所以的前n项和，显然没有出现，所以， 则的前n项和为：， 所以， 由两边对应项相等可得：解得：，，，， 所以， 故答案为：4． 4. 记为等差数列的前n项和，已知． 若，求的通项公式； 若，求使得的n的取值范围． 【答案】解：根据题意，等差数列中，设其公差为d， 若，则， 可得，即， 若，则， 则； 若，则， 当时，不等式成立， 当时，有，变形可得， 又由得，即， 则有， 又由，则有， 则有， 综合可得：且． 5. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ求数列的前n项和 【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为  由已知，得， 而，所以 又因为，解得 所以．  由，可得，  由，可得， 联立解得，， 所以． 所以的通项公式为，的通项公式为； Ⅱ设数列的前n项和为，  由可得， 所以，，  上述两式相减，得 ， 所以  所以数列的前n项和为． 6. 设等差数列的前n项和为，，数列满足：对每个，，，成等比数列． Ⅰ求数列，的通项公式； Ⅱ记，，证明：，． 【答案】解：Ⅰ设数列的公差为d， 由题意得， 解得，， ，． ，， 数列满足：对每个，，，成等比数列． ， 解得， 解得，． 证明：Ⅱ，， 用数学归纳法证明： 当时，，不等式成立； 假设，时不等式成立，即， 则当时， ， 即时，不等式也成立． 由得，． 7. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为数列是公比大于0的等比数列，，． 求数列和的通项公式； 记，． 证明：是等比数列； 证明：． 【答案】证明：由数列是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64， 可得，解得， 所以； 由数列是公比q大于0的等比数列，，， 可得，解得舍去， 所以； 证明：因为，， 所以， 则， 所以， 又， 所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列； 证明：设， 考虑，则， 所以， 则， 两式相减可得，， 所以， 则， 故． 8. 定义数列：对，满足： ，；，；，，． 对前4项2，，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由； 若是数列，求的值； 是否存在，使得存在数列，对任意，满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由． 【答案】解：由性质，结合题意可得，矛盾， 故前4项2，，0，1的数列，不可能是数列； 性质，，； 由性质，因此或，或， 若，由性质可得，即或，矛盾； 若，，由，则，矛盾， 因此只能是，， 又因为或，所以或． 若，则，不满足，舍去； 当，则的前四项为0，0，0，1， 下面用数学归纳法证明2，，， 当时，经检验命题成立； 假设时命题成立． 当时， 若，则， 利用性质：，此时可得， 否则，取可得，而由性质可得，与矛盾． 同理可得，，此时可得， ，此时可得， ，又因为，此时可得， 即当时，命题成立． 综上可得，； 令，