第一章 导数的计算2-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：导数的计算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]． 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集． 2．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导． 3.使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 题型一：简单复合函数求导问题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.(　　) 2．做一做 (1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________. (2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________. (3)函数f(x)＝－，则f′(x)＝________. 3.求下列函数的导数． (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. 4.求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esinx； (3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)． 题型二：复合函数与导数的运算法则的综合应用 5.求下列函数的导数． (1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)； (2)y＝sin2. 6.求下列函数的导数． (1)y＝x；(2)y＝xcossin. 题型三：导数的综合应用 7.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 8.已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标． 综合小测试 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　) A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x) C．ex－e－x D．ex＋e－x 3．函数f(x)＝π2x2的导数是(　　) A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝2πx C．f′(x)＝2π2x D．f′(x)＝2πx2＋2π2x 4．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b＝________. 5．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 巩固小练 1.基本初等函数的导数公式： （1）、若=(为常数)，则= ； （2）、若=(∈Q)，则= ； （3）、若=，则= ； （4）、若=，则= ； （5）、若=，则= ； （6）、若=，则= ； （7）、若=，则= ； （8）、若=则= 。 2.导数的运算法则：（请根据课本填写并记忆） （1）、= ； （2）、= ； （3）、=