第一章 变化率问题 导数的概念-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：变化率问题　导数的概念 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．平均变化率 函数f(x)从x1到x2的平均变化率＝. 若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率是＝. 2．瞬时变化率 设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L，则常数L称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作＝L. 3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0.即f′(x0)＝ . 简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 4.导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝ 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝limx→x0 与概念中的f′(x0)＝ 意义相同． 题型一：求函数的平均变化率 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝在x＝－1处的导数可表示为________． 3.求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 4.(1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx (2)求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________． 题型二：求平均速度与瞬时速度 5.若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝求： (1)物体在t∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 6.已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s)． (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求； (2)当t＝2，Δt＝0.001时，求； (3)求质点M在t＝2时的瞬时速度． 题型三：求函数f(x)在某点处的导数 7.已知函数y＝f(x)＝ 求此函数在x＝1和x＝4处的导数． 8.函数y＝x＋在x＝1处的导数是(　　) A．2 B． C．1 D．0 综合小测试 1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx满足(　　) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 2．若函数f(x)＝2x2的图象上有点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4 B．4x C．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx 3．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________. 4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则t＝2 s时，汽车的瞬时速度是________． 5．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间． (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度． 巩固小练 1.在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ） A． B． C． D． 2．设函数，当自变量x由改变到+Δx时，函数的增量Δy为（ ） A． B． C． D． 3．质点运动规律，则在时间（3，3+Δt）中，相应的平均速度等于（ ） A．6+Δt B． C．3+Δt D．9+Δt 4.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于(　　) A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2 C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2 5.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的