第一章《导数与函数的零点》专题汇编-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

导数与函数的零点 .函数零点的相关概念 1.对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点. 2.方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 3.零点存在性定理 如果函数 在区间 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ， 那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根. 4.对于求一些较为复杂的函数的零点，可以先把 转化成 ，再把函数拆分成两个我们常见的函数 ， 的图像与 的图像的交点个数就是函数 的零点个数， 5.导数在函数零点中的作用，主要考虑求导后单调性与极值的综合运用 一．三次函数的零点问题 已知 为三次函数 的两个极值点与 （求导后的二次函数） ①若函数 有3个零点，则有 ②若函数 有2个零点，则有 ③若函数 有1个零点，则有 或者 1.函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.若函数 与函数 有3个交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.若函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是 4.若过点 可作曲线 的三条切线，则实数 的取值范围是 5.已知函数 其中 ，若函数 在区间 内恰有两个零点，则实数 的取值范围是 二．判断零点的个数（主要考虑极值与0的大小关系或者转换为两个函数的交点个数） 1.函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2..函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.若 ，则方程 在 上恰好有 个根. 5.已知函数 ，则函数 有 个零点. 三．根据零点个数求参数的范围 利用过点切线求零点（一次函数与另外的初等函数的结合） 1.已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为 2.已知函数 存在零点，则实数 的取值范围为 3.已知函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 参变分离求零点（主要考虑参数与函数极值的大小关系） 4.若函数 存在零点，则实数 的取值范围是 5.若函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是 6.已知函数 与函数 有两个交点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 与函数 有两个交点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 四．证明零点（极值点）的个数问题 主要通过函数单调性及零点存在性定理进行证明 1.已知函数 ，证明： 存在唯一的极值点； 2.已知函数 ，讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点； 3.已知函数 ，证明： 只有一个零点． 五．隐零点问题 ①隐零点：函数存在零点，但不能求出具体值，常用设而不求的方式解决 ②对于隐零点问题，一般是先求导函数的零点 （通过单调性及零点存在性定理，确定其大致范围），利用然后 ，得到一个关于 的式子，然后代换出 的式子，从而求到函数极（最）值 的取值或者范围. 1.已知函数 ，证明： 2.已知函数 ，证明： 3.已知函数 ，且 ，证明： 4.已知函数 ，且 ，证明： 存在极小值点 ，且 5.已知函数 ，当 时， 恒成立，求正整数 的最大值. 6.已知 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. 五．零点综合性大题 1.已知函数 . （1）若 ，证明：当 时， ； （2）若 在 只有一个零点，求a. 2.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求a的取值范围. 3.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求a的取值范围． 4.已知函数 ，且 . （1）求a； （2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 . 答案 一．1-5 CB ， ， 二．1-5 CBB，1，1 三．1-7 ， ，C， ， ，CD $ 导数与函数的零点 .函数零点的相关概念 1