第三章 直线的方向向量及平面的法向量-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：直线的方向向量及平面的法向量 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线l的方向向量) 形式 在直线l上取 ＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得＝t 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线的位置 定点 可以具体表示出l上的任意一点 2．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 3．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0 面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu(λ∈R) 面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 题型一：点的位置向量与直线的方向向量 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________． (2)已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________. (3)(教材改编P104T2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________. (4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1，l2的位置关系为________． 3.(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A. B. C. D. (2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标． 4.已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得＝－2，求点Q的坐标． 题型二：求平面的法向量 5.如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量． 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的一个法向量． 题型三：利用方向向量、法向量判断线、面关系 7.(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． (2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u＝(1，－1,2)，v＝； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)． (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量(l⊄α)，根据下列条件判断α和l的位置关系： ①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． 8.根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． 综合小测试 1．若平面α，β的法向量分