第三章 空间向量与立体几何 章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： 2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 3.如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AD1∥平面BDC1. 证明　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 5.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC. 6.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE. 证明　设AD＝DE＝2AB＝2a， 建立如图所示的坐标系Axyz， 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD. (1)求证：直线ED⊥平面PAC； (2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A－PC－D的余弦值． 8.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． (1)求证：AB1⊥平面A1BD； (2)求二面角A－A1D－B的余弦值； (3)求点C到平面A1BD的距离． 9.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点． (1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离． 10.如下图， 四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点， (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由． $ 高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识系统整合 规律方法收藏 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间，具有方向和大小的量叫做向量．零向量是方向任意、大小为零的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. (2)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． (3)空间向量基本定理：给定空间一个基底{a，b，c}，对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc. (4)空间向量的数量积及夹角公式： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝. 二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与a，b，c同向． 2．向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇒a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b⇒a＝λb⇔＝＝(b1，b2，b3≠0)． 3．有关公式 (1)模：|a|＝＝； (2)夹角：