第二章 曲线方程 复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：章末复习 考试时间：120分钟； 总分：150分 命题人：田思思 1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|＝2. (1)若椭圆C′：＋＝1与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C′的方程； (2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C′的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程． 　 2.已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． 3.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O. 4.设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上． (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q， 5.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 6.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4. (1)求椭圆C的方程； (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． $ 高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：章末复习 考试时间：120分钟； 总分：150分 命题人：田思思 知识系统整合 规律方法收藏 求轨迹方程的几种常用方法 (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程． 学科思想培优 一、圆锥曲线的定义、方程及性质 (1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． [典例1]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|＝2. (1)若椭圆C′：＋＝1与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C′的方程； (2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C′的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程． 解　(1)因为P到焦点的距离等于P到准线的距离，所以PF＝1＋＝2，p＝2， 故抛物线的方程为C：y2＝4x. 又由椭圆C′：＋＝1，可知4－n＝1，所以n＝3，故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)由消去y得到3x2＋16x－12＝0，解得x1＝，x2＝－6(舍去)． 所以A，B，则双曲线的渐近线方程为y＝±x. 由渐近线x±y＝0，可设双曲线方程为6x2－y2＝λ(λ≠0)． 由点P(1，m)在抛物线C：y2＝4x上， 解得m2＝4，P(1，±2)， 因为点P在双曲线上，所以6－4＝λ＝2， 故所求双曲线方程为3x2－＝1. 拓展提升 (1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． (2)应用圆锥曲线的性质时，