考点20 等差数列及其前n项和-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

学科网（北京）股份有限公司 考点20 等差数列及其前n项和 【命题趋势】 本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【重要考向】 本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 【典例】 1.已知数列中，，数列满足.求证：数列是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】根据等差数列定义判断为常数即可证明. 【详解】证明：因为，且， 所以，， 又，所以， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列. 等差数列的通项公式 解题技巧：求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1） 定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 2．已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____. 【答案】 【分析】根据已知，利用作差法求易判断为等差数列，写出通项公式即可. 【详解】∵， ∴， 又，则， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：应用作差的方法求，判断数列的性质，进而求通项. 3．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且. （1）证明：{an}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n＋1. 【分析】（1）讨论n=1时，a1＝S1，求出a1；n≥2时，＝－，将式子进行变形化简，进而得出an－an－1是一个常数； （2）由（1），通过即可求得. 【详解】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，＝－＝－， 所以， 因为，所以. 所以数列{an}是以 3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 等差数列的前n项和 等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用 【典例】 4．已知正项数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式； （2）由裂项相消法可求出. 【详解】解：(1)由， 又有，，两式相减得， 因为，所以， 又，，解得，满足， 因此数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， (2) 所以. 等差数列的性质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立． 5．已知等差数列满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值，结合等差数列的基本性质与基本量可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 设等差数列的公差为，则. 故选：A. 6．若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由题意，等差数列满足，， 根据等差数列的性质，可得，即， 又由，可得， 所以当前项和取得最大值时的值是. 故选：B. 1．在等差数列中，若，则（ ） A．18 B．30 C．36 D．72 2．正项数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（ ） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 5．在等差数列中，，则=（ ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，已知，则的公差（ ） A． B．3 C．2 D．1 7．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 8．已知等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为（ ） A． B． C