考点19 数列的概念与简单表示法-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

学科网（北京）股份有限公司 考点19 数列的概念与简单表示法 【命题趋势】 本节是高考的热点，主要考查：(1)由数列的递推关系求通项公式；(2)由an与Sn的关系求通项公式；(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度不大． 【重要考向】 本节通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养． 数列的通项公式 常见的数列的通项公式： （1）数列1，2，3，4，…的通项公式为； （2）数列2，4，6，8，…的通项公式为； （3）数列1，4，9，16，…的通项公式为； （4）数列1，2，4，8，…的通项公式为； （5）数列1，，，，…的通项公式为； （6）数列，，，，…的通项公式为． 【典例】 1．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． （1）1，3，7，15，31，…； （2）4，44，444，4 444，…； （3）－1，3，－5，7，－9，…； （4）2，－，，－，，－，…； （5）1，2，1，2，1，2，…. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】 （1）由各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32…，结合新数列的通项，可求解； （2）由各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，结合数列的通项为，即可求解； （3）由所给数列的特点，得到，即可求解； （4）由数列变为，再把各分母分别加上1变为，即可求解； (5)根据数列前几项，利用分段函数的形式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，数列的前几项为：1，3，7，15，31，…， 可得各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为， 故原数列的通项公式为. （2）由数列的前几项为：4，44，444，4 444，… 各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…， 新数列的通项为，故原数列的通项公式为． （3）所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列； ③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方； ④分数部分的分子依次大1. 综合这些特点写出表达式，再化简即可． 由所给的几项可得数列的通项公式为， 所以. （4）数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为， 再把各分母分别加上1，数列又变为，所以. (5)由1，2，1，2，1，2，，可写成分段函数的形式：. 数列的递推公式 解题技巧： 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 【典例】 2．（1）已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an. （2）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 【答案】（1）；（2）an=. 【分析】 （1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式; （2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式. 【详解】 （1）， ， 将以上个式子相加， 得 ， 即. . 又当n=1时，也符合上式，. （2）因为a1=1，(n≥2)，所以， 所以 ·…··1=. 又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=. 利用与的关系求通项公式 已知求的一般步骤： （1）先利用求出； （2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写. 利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起． 【典例】 3．已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计算可得； 【详解】解：因为，当时，所以，当时，，所以 当时不成立， 所以故选：C 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可. 数列的单调性 数列单调性的判断方法： ①作差法：数列是递增数列； 数列是递减数列； 数列是常数列． ②作商法：当时，数列是递增数列； 数列是递减数列； 数列是常数列． 当时，数列是递减数列； 数列是递增数列； 数列是常数列． 【典例】 4．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ） A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 【答案】C 【分析】 由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答. 【详解】 依题意得，设数列的最大项为，于是有， 从而得，整理得：，解得，而，则， 所以数列各项中最大项是第15项. 故选：C 1．数列的通项公式为（ ） A． B． C．