求数列通项公式方法总结（一）专项训练-2026届高三数学一轮复习

求数列通项公式方法总结（一） 方法一：观察法 1．将数列{2n }与{3n+1} 的公共项从小到大排列得到数列{an } ，则其通项an = ________． 2．如图，第 1 个图形需要 4 根火柴，第 2 个图形需要 7 根火柴，......，设第 n 个图形需要an 根火柴． （1）试写出a4 ，并求 an ； （2）记前 n 个图形所需的火柴总根数为Sn ，设bn = Sn ，求数列 的前 n 项和Tn ． 3．2022 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵 “大雪花” ，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①) 的边长为 3，把图二中的① , ② , ③ , ④…… 图形的周长依次记为a1 ，a2 ，a3 ，a4 ， … , 得到数列{an }． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 （1）求数列{an } 的通项公式； （2）设数列{an } 的前n 项和为Sn ，若Sn > 3an ，求n 的最小值． 方法二：叠加法 4．已知a1 = 0 ，an+1 = an + 2n−1，求通项an = ________． 5．在数列{an } 中，已知a1 = 1 ，an ，n ∈ N* ．求数列{an } 的通项公式； 学科网（北京）股份有限公司 方法三：叠乘法 6．数列{an }满足：a ，(2n+2 -1)an+1 = (2n+1 - 2)an (n∈ N* )，则{an } 的通项公式为 . _____________ 7．已知数列{an } 的首项为 1，前 n 项和为Sn ，且nSn+1 = (n+ 2)Sn ，则数列 的前 n 项和Tn = ______． 求数列通项公式方法总结() 巩固 1. 数列1 … 的一个通项公式为 ( ) 2. 已知数列{an }满足a1 = −1，an+1 = an n ∈ N*，求通项公式an． 3. 已知数列{an }的首项为1，前n项和为Sn，且nSn+1 = (n + 2) Sn，则数列{an }的通项公式an = 求数列通项公式方法总结() 加强 1. 数列1，2，5 ⋯⋯的一个通项公式为 ( ) A. an = n B. an = 2n − 1 C. an = 2n − 1 D. an = 2n − n 2. 数列{an }满足a1 = −1，且an an 则a22等于 ( ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 3.，an (2)+1 = an (2) + 2n，n ∈ N*，则a1a2 + a2a3 + a3a4 + ⋯ + a9a10 =( ) A B. 1022√2 C. D. 220 − 8 4. 在数列{an }中，a anan，若Tn 且对任意n ∈ N∗, Tn ≥ λ ⋅ 2n + 4恒成立，则实数λ的取值范围是 ( ) A. (−∞, −1] B C D. [1, +∞) 5. 根据数列{an}的前4项“-1，3，-6，10…，写出数列的一个通项公式 . 6. 设{an }是首项为1的正项数列，且(n + 2)an+12 − nan2 + 2an+1an = 0(n ∈ N*)，求通项公式an = 求数列通项公式方法总结（一）解析 方法一：观察法 1．将数列{2n }与{3n+1} 的公共项从小到大排列得到数列{an } ，则其通项an = ________． 【答案】 4n 2．如图，第 1 个图形需要 4 根火柴，第 2 个图形需要 7 根火柴，......，设第 n 个图形需要an 根火柴． （1）试写出a4 ，并求 an ； （2）记前 n 个图形所需的火柴总根数为Sn ，设bn = Sn ，求数列 的前 n 项和Tn ． 【答案】（1）a4 = 13, an = 3n + 1(n∈ N* ) 3．2022 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵 “大雪花” ，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①) 的边长为 3，把图二中的① , ② , ③ , ④…… 图形的周长依次记为a1 ，a2 ，a3 ，a4 ， … , 得到数列{an }． （1）求数列{an } 的通项公式； （2）设数列{an } 的前n 项和为Sn ，若Sn > 3an ，求n 的最小值． 【答案】（1）a2 = 12, a3 = 16 ； an （2）5 方法二：叠加法 4．已知a1 = 0 ，an+1 = an + 2n−1，求通项an = ________． 【答案】 an = (n −1)2 5．在数列{an } 中，已知a1 = 1 ，an ，n ∈ N* ．求数列{an } 的通项公式； 【答案】 an 方法三：叠乘法 6．数列{an }满足：a ，(2n+2 −1)an+1 = (2n+1 − 2)an (n∈ N* )，则{an } 的通项公式为 . _____________ 【答案】 an 7．已知数列{an } 的首项为 1，前 n 项和为Sn ，且nSn+1 = (n+ 2)Sn ，则数列 的前 n 项和Tn = ______． 1 1 【答案】 求数列通项公式方法总结() 巩固 解析 【答案】 1:A 2: an = − ∗ ). 3:n 1. 数列1，− , , − , , … 的一个通项公式为 ( ) A. an = (−1)n+1 B. an = (−1)n−1 C. an = (−1)n D. an = (−1)n 【答案】A 【解析】奇数项为正，偶数项为负，可用(−1)n+1来实现， 而各项分母可看作21 − 1 = 122 − 1 = 323 − 1 = 724 − 1 = 1525 − 1 = 31 … 各项分子均为1， ∴该数列的通项公式为an = (−1)n+1 ⋅ . 故选：A 2. 已知数列{an }满足a1 = −1，an+1 = an + ，n ∈ N*，求通项公式an． 【答案】an = − (n ∈ N∗ ). 【解析】【解析】因为an+1 = an + ，所以an+1 − an = = − ,所以a2 − a1 = 1 − , a3 − a2 = − , a4 − a3 = − , ( , )…… an − an−1 = − , 所以an − a1 = (1 − + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + − = 1 − ,因为a1 = −1， 所以an + 1 = 1 − , 所以an = − (n ≥ 2)， 因为a1 = −1满足上式， 所以an = − (n ∈ N∗ ). 3. 已知数列{an }的首项为1，前n项和为Sn，且nSn+1 = (n + 2) Sn，则数列{an }的通项公式an = 【答案】n 【解析】【解析】解： ∵ nSn+1 = (n + 2)Sn，S1 = a1 = 1， : = ， : = ， = ， = ，…, = ，将这n − 1个等式累乘得： = ，又S1 = 1， :Sn = ， :当n ≥ 2时，an = Sn − Sn n， 又a1 = 1也满足上式， : an = n，n ∈ N ∗ , 故答案为：n． 求数列通项公式方法总结()加强 解析 练习 1/3 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1:D 2:B可）． 6: ( n ( n +1) 2 ) ( ⋅ )3:B 4:A 5:an = (−1)n （或an = cosnπ,或分段函数，满足条件均 1. 数列1，2，5 ⋯⋯的一个通项公式为 ( ) A. an = n B. an = 2n − 1 C. an = 2n − 1 D. an = 2n − n 【答案】D 【解析】【解析】A中a3 = 5不适合，B中a2 = 2不适合，C中a2 = 2不适合， D 中a1 = 1，a2 = 2，a3 = 5都适合，故选：D. 2. 数列{an }满足a1 = −1，且an+1 = (1 + an + (n ∈ N∗ )，则a22等于 ( ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】【解析】根据题意，数列{an }满足a1 = −1，且an+1 = (1 + an + (n ∈ N∗ )，即 = + (n ∈ N∗)， 变形可得 − = = − , 则有， = ( − ) + ( − ) + … … + ( − ) + = ( + ( − − ) + ( ) + (−1) = 1 − − ) + … … + ( − ) + = ( − ) + ( − ) 2 n + … … 则an = n − 2 (n ≥ 2)，故a22 = 22 − 2 = 20；故选：B． 3.，an (2)+1 = an (2) + 2n，n ∈ N*，则a1a2 + a2a3 + a3a4 + ⋯ + a9a10 =( ) A. B. C. D. 220 − 8 【答案】B an (2)+1 = an (2) + 2n，n ∈ N*，即an (2)+1 − an (2) = 2n，n ∈ N*， 可得a2 (2) − a1 (2) = 21， a3 (2) − a2 (2) = 22， a4 (2) − a3 (2) = 23， … an (2) − an (2)−1 = 2n−1， 累加可得an (2) = 2 + 2 + 22 + 23 + … + 2n−1 = 2 + = 2n， an = ， 所以a1a2 + a2a3 + a3a4 + ⋯ + a9a10= = 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 4. 在数列{an }中，a1 = ，an+1 = an，若Tn = + + ⋯ + ，且对任意n ∈ N∗, Tn ≥ λ ⋅ 2n + 4恒成立，则实数λ的取值范围是 ( ) A. (−∞, −1] B. (−∞, − C. ( − , 1] D. [1, +∞) 【答案】A 【解析】【解析】解：因为an+1 = an，所以 = ，则 = ，n ≥ 2，所以 × a n (a n)−2 (1) × ⋯ × = × × × ⋯ × × , 即 = × , 又a1 = ，所以an = × × = ，显然当n = 1时an = 也成立， 所以an = ， 所以 = n ⋅ 2n， 所以Tn = + + ⋅ ⋅ ⋅ + = 1 × 2 + 2 × 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + n × 2n ①, 2Tn = 1 × 22 + 2 × 23 + ⋅ ⋅ ⋅ + n × 2n+1②, ①−②得 −Tn = 1 × 2 + 1 × 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 × 2n − n × 2n+1 = 2(1 (1)−2 (2)n ) − n × 2n+1 = (1 − n) × 2n+1 − 2 所以Tn = (n − 1) × 2n+1 + 2， 因为Tn ≥ λ ⋅ 2n + 4恒成立， 即(n − 1) × 2n+1 + 2 ≥ λ ⋅ 2n + 4恒成立， 即2 (n − 1) − ≥ λ恒成立， 易知y = 2 (x − 1) − 在[1, +∞)上单调递增，所以当x ∈ [1, +∞)时ymin = −1，所以λ ≤ −1，即λ ∈ (−∞, −1]； 故选：A 5. 根据数列{an}的前4项“-1，3，-6，10…，写出数列的一个通项公式 . 【答案】an = (−1)n ⋅ （或an = cosnπ, 或分段函数，满足条件均可 ）． 【解析】解：∵a1 = (−1)1 × = −1，a2 = (−1)2 × = 3， a3 = (−1)3 × = −6，a4 = (−1)4 × = 10， ∴an = (−1)n ⋅ 故答案为：an = (−1)n ⋅ . 6. 设{an }是首项为1的正项数列，且(n + 2)an+12 − nan2 + 2an+1an = 0(n ∈ N*)，求通项公式an = 【答案】 【解析】【解析】由(n + 2)an+12 − nan2 + 2an+1an = 0(n ∈ N*)，得[(n + 2)an+1 − nan](an+1 + an ) = 0， ∵an > 0，:an+1 + an > 0，:(n + 2)an+1 − nan = 0，: = ， :an = a1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 × × × × ⋅ ⋅ ⋅ × × = (n ≥ 2)，又a1 = 1满足上式，:an = . 故答案为： . $