精品解析：上海市嘉定区第一中学2021届高三下学期3月月考数学试题

2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考 数学卷 一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 不等式解集为___________． 2. 已知，，则_________________． 3. ________ 4. 设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是______． 5. 如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是__________．（结果精确到） 6. 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 7. 已知正数，满足，则的最小值为______. 8. 某长方体的长、宽、高分别为，，，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________. 9. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 10. 从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为____________． 11. 设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中所有正确命题的序号_____ ①若，则各项系数随着项数增加而减小； ②若各项系数随着项数增加而增大，则； ③若，，则第项的系数最大； ④若，，则所有奇数项系数和为. 12. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P. 现有三组函数：①，②，③，其中具有性质P的是__________． 二. 填空题（本大题每题5分，满分20分） 13. 下列说法中正确的是（ ） A. ； B. 若、非零向量且，则； C 若且，则； D. 若，则有且只有一个实数，使得. 14. 已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为（为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ） A. B. C. D. 16. 太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题： ①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（ ）. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三. 解答题（本大题满分76题） 17. 如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为、与、. （1）若，，求的值; （2）若，求证：. 18. 已知函数． （1）求函数的最大值及此时x的值； （2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值． 19. 为了监测某海域船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距海里的，两个观测站，观测范围是到，两观测站距离之和不超过海里的区域. （1）以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程； （2）某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）. 20 已知. （1）当时，讨论函数的奇偶性； （2）当，，时，的最大值为，求的零点； （3）当时，对于任意的，总有，试求的取值范围. 21. 对于数列，定义 设的前项和为. （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足： ①对任意且，有； ②. 求所有满足条件数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考 数学卷 一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用行列式的运算法则可得出关于的不等式，结合对数函数的基本性质可求得原不等式的解集. 【详解】由得，解得， 所以，原不等式解集为. 故答案为：. 2. 已知，，则_____________