微点特训3 不等式的性质与一元二次不等式-2022高考数学【创新教程】微点特训之练透小题（新高考）

９．AC　[由 指 数 函 数 的 性 质 可 知,当 x∈ (０,＋∞)时, １ ２( ) x １ ３( ) x＝ ３ ２( ) x ＞１, １２( ) x ＞ １３( ) x 恒成立,A 错误; 由对数 函 数 的 性 质 可 知,当 x∈(０,１)时,log１ ３ x＞０, log１ ２ x log１ ３ x＝ log１ ３ x log１ ３ １ ２ log１ ３ x ＝ １ log１ ３ １ ２ ＝ １log３２ ＝log２３＞１,log１２x＞ log１ ３ x,恒成立,B正确;对于 C,当x＝ １２ 时, １ ２( ) x ＝ ２ ２ ,log１ ２ x＝１,则log１ ２ x＞ １２( ) x ,C错误;对于 D,当x ＝１３ 时,log１ ３ x＝１,由对数函数与指数函数的性质可知, 当∀x∈ ０,１３( ) 时, １ ２( ) x ＜１＜log１ ３ x 恒 成 立,D 正确．] １０．ABD　[对于 A,１a ＜１⇔ a－１ a ＞０⇔a (a－１)＞０,a＜０ 或a＞１,则“a＞１”是“１a ＜１ ”的充分不必要条件,故 A 对;对于B,全称命题的否定是特称命题,“任意x∈R, 则x２＋x＋１＜０”的否定是“存在x∈R,则x２＋x＋１≥ ０”,故B对;对于 C,“x≥２且y≥２”⇒“x２＋y２≥４”,“x ≥２且y≥２”是 “x２＋y２≥４”的充分条件,故 C错;对 于 D,ab≠０⇔a≠０,且b≠０,则“a≠０”是“ab≠０”的必要 不充分条件,故 D对．] １１．①②④　[对于①,“若x＋y＝π２ ,则sinx＝cosy”的逆 命题是“若sinx＝cosy,则x＋y＝π２ ”,当x＝０,y＝３π２ 时,有sinx＝cosy成立,但x＋y＝３π２ ,故逆命题为假 命题,①正确;对于②,在△ABC 中,由正弦定理得sinB ＞sinC⇔b＞c⇔B＞C,②正确;对于③,“a＝±１”是“直 线x－ay＝０与直线x＋ay＝０互相垂直”的充要条件, 故③错误;对于④,根据否命题的定义知④正确．] １２．∃x∈R,x２＋x＋１≤０　a２＋b２＞c２　[根据全称量词命 题的否定为存在量词命题可知,命题“∀x∈R,x２＋x＋ １＞０”的 否 定 是 ∃x∈R,x２ ＋x＋１≤０;设a,b,c 是 △ABC的三条边,且a≤b≤c,△ABC 为锐角三角形的 一个充要条件是a２＋b２＞c２． 证明如下: 必要性:在△ABC 中,∠C 是锐角,过点A 作AD⊥BC 于点D,如图: 根据图象可知AB２＝AD２＋BD２＝AC２－CD２＋(BC－ CD)２＝AC２－CD２＋BC２＋CD２－２BC􀅰CD＝AC２＋ BC２－２BC􀅰CD＜AC２＋BC２, 即AB２＜AC２＋BC２,a２＋b２＞c２ 可得证． 充分性:在△ABC中,a２＋b２＞c２,所以∠C不是直角． 假设∠C是钝角,如图:过点A 作AD⊥BC,交BC延长 线于点D, 则AB２＝AD２＋BD２＝AC２－CD２＋(BC＋CD)２ ＝AC２－CD２＋BC２＋CD２＋２BC􀅰CD＝AC２＋BC２＋ ２BC􀅰CD＞AC２＋BC２,即AB２＞AC２＋BC２,a２＋b２＜ c２,与a２＋b２＞c２ 矛盾． 故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形．] [真题体验练]———实战抢分 １．B　[a１＝－１,q＝２时,{Sn}是递减数列,所以甲不是乙 的充分条件;{Sn}是递增数列,可以推出an＋１＝Sn＋１－Sn ＞０,可以推出q＞０,甲是乙的必要条件．故选B．] ２．A　[若函数f(x)在[０,１]上单调递增,则f(x)在[０,１] 上的最大值为f(１),充分性成立,反之,则f(x)在[０,１] 上的最大值为f(１),但f(x)在[０,１]上不一定是增函 数,如函 数f(x)＝ x－１４( ) ２ 在[０,１]上 的 最 大 值 为 f(１),它在[０,１]上不单调,故必要性不成立．] ３．B　[若c⊥a且c⊥b,则a􀅰c＝b􀅰c＝０,但a不一定等于 b,故充分性不成立;若a＝b,则a􀅰c＝b􀅰c,必要性成 立,故为必要不充分条件．故选择:B．] ４．B　[设f(x１)范围是 A,２f(x２＋θ)＋２范围是B,由题意 A⊆B, ∵f(x１)∈[２,５],且２f(x２＋θ)＋２＝６sin(x＋θ)＋６,当 θ＝４π５ 时,x２＋θ∈ ４π ５ ,１３π １０[ ] , ６sin(x２＋θ)＋６∈ ６sin １３π １０＋６ ,６sin４π５＋６[ ] ,６sin １３π １０ ＋６≈１．１４;６sin４π５＋６≈９．５３ 由此可知当θ＝４π５ ,对任意的x１∈ ０, π ２[ ] ,都存在x２∈ ０,π２[ ] ,使得f(x)＝２f(x＋θ)＋２成立,] 微点特训３　不等