微点特训20 平面向量的数量积及平面向量的应用-2022高考数学【创新教程】微点特训之练透小题（新高考）

AQ→＝AB→＋BQ→＝AB→＋ ５－１２ BC →＝AB→＋ ５－１２ (AC →－AB→)＝ ３５ ２AB →＋ ５－１２ AC →,所以x１＝y２＝ ５－１２ ,x２＝y１＝ ３－５ ２ ． 所 以 x１ x２ ＋y１y２ ＝ ５－１ ３－５ ＋３－５ ５－１ ＝５．] ７．B　[因 为a＞０,b＞０,若 A,B,C 三 点 共 线,设AB→＝ λAC→,即(a－１)e１＋e２＝λ(be１－２e２),因为e１,e２ 是平面 内两个不共线向量,所以 a－１＝λb １＝－２λ{ ,解得λ＝－ １ ２ ,a－１ ＝ － １２ b ,即 a ＋ １２ b ＝ １ ,则 １ a ＋ ２ b ＝ １ a＋ ２ b( ) a＋ １ ２b( )＝１＋１＋ b ２a＋ ２a b ≥２＋２ b ２a 􀅰２a b ＝２＋２＝４,当且仅当b２a＝ ２a b ,即b＝２a,即a＝１２ ,b＝１４ 时取等号,故最小值为４．] ８．C　[∵ON→＝λOA→＋(１－λ)OB→,可知点 N 的横坐标是 x＝λa＋(１－λ)b,∴M,N 两点的横坐标相等,并且点 N 在线段AB 上,由条件可知A(１,０),B ２,３２( ) ,则kAB ＝ ３ ２ ,则直线AB 的方程是y＝３２ (x－１),不等式|MN→|≤ k恒成立,则k≥|MN→|max,由以上可知|MN→|＝|yM －yN| ＝ x－１x－ ３ ２ (x－１) ＝ ３２－ x ２＋ １ x( ) ,∵ x ２ ＋ １ x≥ ２ ,x∈[１,２],当且仅当x＝ ２时等号成立, ∴|MN→|的最大值是３２－ ２,即k≥ ３ ２－ ２． 故选 C] ９．ABD　[AC→＝AD→＋DC→＝AD→＋１２AB →,A正确;MC→＝MA→ ＋AC→＝ １２BA →＋AC→＝ １２ (BC →－AC→)＋AC→＝ １２AC →＋ １ ２BC →,B正确;MN→＝MA→＋AD→＋DN→＝－１２AB →＋AD→＋ １ ４AB →＝AD→－ １４AB →,C 错 误;BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝ －AB→＋AD→＋１２AB →＝AD→－１２AB →,D正确．] １０．ACD　[A 中:AM→＝ １２AB →＋ １２AC →⇒AM→＝ １２AB →＋ １ ２AC →,⇒１２AM →－ １２AB →＝ １２AC →－ １２AM →,即:BM→＝ MC→,则点 M 是边BC 的中点．B．AM→＝２AB→－AC→,⇒ AM→－AB→＝AB→－AC→∴BM→＝CB→,则点 M 在边CB 的延 长线上,所以B错误． C． 设BC 中 点 D,则AM→＝ －BM→－CM→＝MB→＋MC→＝ ２MD→,由重心性质可知 C成立．D．AM→＝xAB→＋yAC→, 且x＋y＝１２ ⇒２AM →＝２xAB→＋２yAC→,２x＋２y＝１设 AD→＝２AM→,所以AD→＝１＝２xAB→＋２yAC→,２x＋２y＝１, 可知B,C,D 三点共线,所以△MBC 的面积是△ABC 面积的１ ２． ] １１．－１２b－a　－ １ ４a＋ １ ４b　 [如图,∵四边形 ABCD 是 平行四边形,∴AD→＝BC→,又∵AN→＝３NC→,∴A,N,C 三点共线,且CN→＝１４AC →,则MA→＝MB→＋BA→＝１２DA →＋ BA→＝－ １２b－a,MN →＝MC→＋CN→＝ １２BC →－ １４AC →＝ １ ２AD →－１４AC →＝１２b－ １ ４ (a＋b)＝－１４a＋ １ ４b． ] １２．４＋２ ３３ 　 [根据条件:AC→＝１yAN →,AB→＝１xAM →,又AG→ ＝１３AB →＋１３AC →,∴AG→＝ １３xAM →＋ １３yAN →．又 M,G,N 三点共线,∴１３y＋ １ ３x＝１． ∵x＞０,y＞０, ∴３x＋y＝(３x＋y) １３x＋ １ ３y( ) ＝ ４ ３＋ x y ＋ y ３x≥ ４ ３ ＋ ２ xy 􀅰y ３x＝ ４＋２ ３ ３ ．∴３x＋y 的最小值为４＋２ ３ ３ ,当 且仅当x y ＝ y ３x 时“＝”成立．] [真题体验练]———实战抢分 １．A　[令x１＋y１＝x２＋y２＝x３＋y３＝２a,由①可知,x１＜ a,x２＜a,x３＜a, 由③得x１(２a－x１)＋x３(２a－x３)＝２x２(２a－x２)构造函 数f(x)＝x(２a－x), ∴f(x１)＋f(x３)＝２f(x２),如图所示,f(x)为上凸函数, 满足f x１＋x３ ２( ) ＞ f(x１)＋f(x３) ２ ＝f (x２), ∵f(x)在(－∞,a)上严格递增,∴ x１＋x３ ２ ＞x２． ] ２．８５　 [由已知,a∥b,得２×４＝５λ,故λ＝８５． ] ３．－１０３　 [c＝a＋kb＝(３,１)＋k(１,０)＝(k＋３,１),由a⊥c