专题15 三角函数求值问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题15 三角函数求值问题 【高考地位】 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大. 方法一 切化弦，弦化切 万能模板 内 容 使用场景 一般三角求值类型 解题模板 第一步 利用同角三角函数的基本关系，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果. 例1若，，则（ ） A． B． C． D． 【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题 【答案】C 【分析】 根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果. 【详解】由知，，或， 则， 由知，，或， 则， ， 则 故选：C 【变式演练1】【安徽省淮北市2020届高三下学期二模】若，则的值为（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据齐次式化简得到，代入数据计算得到答案. 【详解】 ，则， . 故选：A. 【点睛】 本题考查了和差公式，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 【变式演练2】已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 【来源】“陕西名校”2021届高三5月检测数学（理）试题 【答案】C 【分析】 利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】 解：因为，所以 故选：C 方法二 统一配凑 万能模板 内 容 使用场景 一类特殊三角求值类型 解题模板 第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系； 第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值； 第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果. 例2【黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟】若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据，确定的范围，再根据，，得到，，然后由，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， ， . 故选：B 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 【变式演练3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题 【答案】A 【分析】 令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得； 【详解】 解：令，则，，所以 . 故选：A. 【变式演练4】【2020届江西省吉安、抚州、赣州市高三一模】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设，可得，可得出，利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求得的值. 【详解】 设，则， ，． 故选：D. 【点睛】 本题考查利用三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 方法三 公式活用 万能模板 内 容 使用场景 一般求值题 解题模板 第一步 观察已知式与待求式的特征； 第二步 选择合适的公式进行化简； 第三步 注意一些公式逆用的情况使用． 例3【2020届河北省张家口市高三下学期第二次模拟】（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的关系可得，进一步通分化简得到原式为，再由余弦的二倍角公式结合诱导公式和特殊角的三角函数值可得到答案. 【详解】 故选：D 【点睛】 本题考查同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【变式演练5】若，则（ ） A．或 B． C．或 D． 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题 【答案】A 【分析】 由二倍角公式得，化简得出或，再由三角恒等变换得出，再分别讨论，两种情况即可． 【详解】 由题可得 所以，即 所以或 又 所以当时，； 当时，． 故选：A 【变式演练6】【2020届广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】若，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的诱导公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案. 【详解】 由三角函数的诱导公式，可得， 又由余弦的倍角公式，可得， 所以，故选B. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能