专题14 导数综合应用的解题模板-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题14 导数综合应用的解题模板 【高考地位】 导数综合问题是高考的必考的重点内容，主要在导数解答题的的第2小问，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 类型一 利用导数研究不等式证明问题 万能模板 内 容 使用场景 一般函数的不等式证明问题 解题模板 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x<x<ex(x>0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)； (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解． 例1 (2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x； (3)设c＞1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx. 【解析】(1)(2)略 (3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx， [关键1：利用要证明的不等式直接构造函数] 则g′(x)＝c－1－cxln c，令g′(x)＝0，解得x0＝. 当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． [关键2：利用导数研究函数单调性、极值] 由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1. [关键3：判断极值点所在的区间] 又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0. 所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx. [关键4：利用函数单调性与极值点所在区间证得不等式] 【变式演练1】（作差法证明不等式）【河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（文）】 已知函数，为的导函数． （1）设，求的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，求得，解三角不等式则问题得解； （2）构造函数，通过二次求导，判断的单调性，即可求得的最小值，则问题得解. 【详解】 （1）由已知，， 所以，， 令，得，解得， 令，得，解得， 故的单调递增区间是； 单调递减区间是. （2）要证，只需证：． 设，，则． 记，则． 当时，，又，，所以； 当时，，，所以， 又，，所以． 综上，当时，恒成立， 所以在上单调递增． 所以，，即， 所以，在上递增，则，证毕． 【变式演练2】（换元法证明双变量不等式）【四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）】已知函数，． （Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】 （I）对原函数求导，根据在内的单调性得在上恒成立，构造函数，求出其最大值即可求出的取值范围; （Ⅱ）函数有两个极值点分别为，，等价于在内有两根，，将极值点代入作差，设，得到时原不等式成立；时，将原不等式转化为，令，，构造函数，证明，即原不等式成立. 【详解】 （I）由题可知，， 在内单调递减， ∴在内恒成立， 即在内恒成立， 令，则， ∴当时，，即在内为增函数， 当时，，即在内为减函数， ∴，即，， ∴； （Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，， 则在内有两根，， ，两式相减，得， 不妨设， 当时，恒成立， 当时，要证明，只需证明， 即证明，即证明， 令，， 令， ， 在上单调递减， ， ， 即成立， . 【变式演练3】（利用二次方程韦达定理证明双变量不等式）【四川省新津中学2021届高三上学期开学考试数学（文）】已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：． 【答案】（1）,单调递