专题11 导数的几何意义应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题11 导数的几何意义应用 【高考地位】 导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解. 导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小． 类型一 求在某点的切线方程 万能模板 内 容 使用场景 在某点的切线方程 解题模板 第一步 计算函数的在曲线上该点处的导函数； 第二步 运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率； 第三步 得出结论. 【例1】 【天壹名校大联盟2020届高三6月大联考】曲线在点处的切线方程为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】第一步，计算函数的在曲线上该点处的导函数： ， 第二步，运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率： 切线斜率为， 第三步，得出结论： 切线方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题考查过函数上一点处切线方程的求解，注意导数的求解以及点斜式的应用即可. 【变式演练1】已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（文）试题 【答案】C 【分析】 求得，根据题意得到，求得的值，再将切点坐标代入切线方程，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得， 因为曲线在处的切线方程为， 可得，解得， 将切点坐标为带入切线方程，即，解得. 故选：C. 【变式演练2】【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）】曲线在处的切线与直线相互垂直，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导，可得曲线在处的切线斜率为，再根据直线垂直关系可得结果. 【详解】 曲线在处的切线斜率为 由切线与直线相互垂直 可得 解得 故选：A 【点睛】 本题考查导数几何意义以及直线垂直关系，属于基础题. 【变式演练3】【2020年伯乐马模拟考试（二）】已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，再求出切点和切线的斜率即得解. 【详解】 因为， 所以， 联立可解得， 所以， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 所以所求的切线方程为. 故选：C 【点睛】 本题主要考查函数的解析式的求法，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式演练4】【陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测】函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案. 【详解】 ，则，则倾斜角为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题. 【变式演练5】【河南省名校联盟2020届高三下学期6月联考】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【详解】 ， ，，，，. 点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，. ，. 故选：B. 【点睛】 本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题. 【变式演练6】【江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷】已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 求导函数，确定其值域，即可求出的取值范围． 【详解】 ，， ,， 的取值范围是．故答案为：． 【点睛】 本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题． 类型二 过点求曲线的切线方程 万能模板 内 容 使用场景 过点求曲线的切线方程 解题模板 第一步 设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数； 第二步 充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系； 第三步 利用方程的思想即可得出结论. 例2 若直线是曲线的一条切线，则______． 【答案】 【解析】第一步，设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数： 设切点为，，所以 第二步，充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系： 则将①代入②得，即， 第三步，利用方程的思想即可得出结论： ∴或， 考点：导数几何意义 【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“