导数专项训练-2026届高三数学临门一脚

**基本信息** 聚焦导数核心应用，以题载法构建“基础应用-综合证明-实际建模”三阶训练体系，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|5题|构造函数比较大小、参变量分离求范围、导数解决体积最值、图像分析整数解|从导数几何意义到函数性质，衔接实际问题建模| |解答题|2题|分类讨论单调性、极值点偏移证明、放缩法与累加法证不等式|以导数为工具，串联函数、不等式与数列综合应用|

2026届高三数学临门一脚导数 一、单选题 1.已知不等式c-r>(a-1)r对任意的x>0恒成立，则正数“的取值范围为 A.(0,) B.(0,e) C.(e,+o) D.(e) 9g,c=n100 2若a=06-如 99,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 二、多选题 3.已知函数)(-2血冈存在极小值点，则 A6 B.函数f(x)有唯一的极小值点 c.fk言 D.函数f(x)有且只有3条斜率为4的切线 2026届临门一脚导数1/14 三、填空题 4.一块边长为10©m的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等 腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则 该容器的容积最大时正四棱锥的高为 cm 10 5 D 5.设aeR,()=e(3r-)+a,若存在唯一的整数”，使得<0，则“的取值范围是 2026届临门一脚导数2/14 四、解答题 f(x)=Vx+4-2e 6.已知函数 a∈R. )讨论的单调性： Q若方程()-有实根，求，的取值范围： （3)若函数F()=f()+alnx+2e有2个极值点、，证明：F(G)+F()》6-16h2· 2026届临门一脚导数3/14 7.己知函数f)=ar2-xnx- Γ2 (1)当a=1时，求曲线y=fo在点Lf()处的切线方程： (2)当x21,a≥2时，证明：f≥0： 1 (3)证明： nV2m+1<x3T3x5+2m-W2n+l业(meN)了 2026届临门一脚导数4/14 《2026届高三数学临门一脚导数》参考答案 1.B【详解】”a>0,e-lhar>ar- “对任意的>0 恒成立， 则e+x>r+har对任意的>0恒成立，e+>er+lhar 令f()=©+x,易知f(在0，+w)单调递增， za ∴.f(x)>f(nax),x>lnax,e*>ar,x； ,则')e(- 令8)-g x2, 令8>0得>1，令8)<0得0<x<1, 故8(r)e 在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增， 8(x)= x的最小值为8()=e,故a<e, 又a>0,0的取值范围0，e) 之.B【详解1令r=9别x0:可得：a=dmc=0+对比较n和e: 1 11 将造高资=0+月-本≥0，求导得闭=中0+对0+对>0，放在0+网单时 f(x)= x+1 递增， ,即(99100，所以c>a. 比较a和b: h()=-1=tam2x≥0 cos2x 2026届临门一脚导数答案第1页，共7页 0 因此h(x)在2上单调递增，又h(O)=0,故：h(x)>h(0)=0→tanx>x 1 <I 当 0,2时、 amx>x,又x=g92,且>a= x+1,故tanx>x>a,即b>a 比较C和b: 构造函数g)=amr-n+x≥0)，8)= cos2x1+x’g'(0)=0 ncos'x<1-1<1 1 >1>、1 1+x,故cos2x1+x 所以s)=T一-1一≥o,x0匹D 0π (1 cos2x 1+x ”2,即g(x)在”2单调递增， 8(99>8(0)=0 tan g9 即“ 1 100 99, 所以b>c. 综上，a<c<b. 3.BCD [(x-2)ln(-x),x<0 【详解]对于选项AB,f=(-2m2n, x>0, 当x<0时，f()1-是+n(-, 而当x<0时，设y=(-1,则+， x2=2，当x<-1时y<0,当-1<x<0时y>0: 因此，当=一时，'取得最小值，则之m=h1-1+1=0, 所以，当x<0时，n(-)-1-之≥0，即h(≥1+ x 则f=1-至+a(-21-21+2>0, 所以)在（®，0叭上单调递增，在(6,0）上无极值。 当x0时，f)=nx+之=nx子+1了闪在0四上单调道搭 2026届临门一脚导数答案第2页，共7页 1 注意到 所以n>me,则f 3 3_1>0, -In 2 231 f'(1)=-1<0 型衣在唯-的小)的r 当且仅当(06)时，(k0,f冈单调递减；当(：+o)时，f()>0,单调递增， 所以。为)唯一的极小值点， ,3 必 o∈1，。 （2)可知，A选项错误，B选项正确 对于选项C,()=nwX+10 Inxo=o 21 ,因此 所以.)--2加=622-4+ 3 25 4∠5 <0+ 因为1长0<2，所以6 对于选项D,当x<0时.令了)=1-2+n(←=4， 设-x=1:1>0,所以n+2-3=0 令80=n+号3.所以80)-}是-‘2 Γt22 80在02)上单调避减：在2，+w)上单调递箱，8082)=i血2-2<0， 1>0且→0时，80→*，t→+0时，80→+ 2026届临门一脚导数答案第3页，共7页 所以80在0,2)和2，+切)上各有一个零点4、， 比时<0，代)=4的两根为、-， 当之0时、令了心)nx-是1，在0，四)上单调道塔。 而当x>0,x→0时，f四)-”，当→+0时，因)→+0， 所以x>0,存在唯一的∈(0，切)使得代)=4， 所以函数（四）有且只有3条斜率为4的切线，故D正确。 5v5 4.3 【详解】由正方形的边长为10，所以可得正四棱锥的斜高为5， 设正四棱锥的底面边长为，高为(0<y<5)。 所+ =5=25所以2-100-4y2, 所以正四棱锥的体积r=号9c少=兮y=00-4少=0y-4). 1 令8)=10y-4y,求导得8)=10-12y2,令g()=0,得"=5， 5 当阳0时.g>0,函数g在百童得 0, 当房市00，西数在房可列上单网版。 5 2026届临门一脚导数答案第4页，共7页 110001000W3 所以'm亏×35 5V3 27，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为3· 3 (s] 【详解】设8()=(3r-l)eh)=ax-) 则由题意可知，存在唯一的整数”，满足 (n)<h(n) 8'()=(3x+2)e* xe-0, 2 2 当 3)时，8<0，函数8)单调递减，当x3+” x∈ 时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增， g)的最小值为3 =-3e3 h(x)=a(x-1) (1,0) 又函数 的是过定点的直线， 过0,0曲线'=80的切线，切，点为.(3，-1e), (3x-1)e 则x-1 =(3x+2)e9 g)=2e>0=h1) 因此存在唯一的整数”，满足 ,则”=0或”=2 g(n)<h(n) g(2)<h(2) g(-1)≥h(-1) ∴.g(3)≥h(3),或g(0)<h(0), 5e2<a -4e1≥-2a 即8e3≥2a或-e°<-a, 解得2e≤a<1或5e2<a≤4e3, 2026届临门一脚导数答案第5页，共7页 改实数5承数宽是小e] =h(x) J=8(x) 6.①当a≤0时，冈的增区间为0+），无减区间；当a>0时，f四的减区间为 ,a),增区间为 (a,+o)） ee+ (3)证明见解析 【分析】(1)求出函数)的定义域，求导，对实数“的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由 此可得出函数 (的增区间和减区间： (2)由f)nx 2x结合参变分离可得2+208四2+2 4= ,令 ,利用导数求出函 数8()的值域，即可得出实数“的取值范围： (3)利用极值点的定义可得出V西+西=-a>0,VV=-a>0,结合4>0可得出a<4,求得 =a2,x+=a2+2a,化简得出F()+F()=a+3a+2an(-)+2,构造函数 2026届临门一脚导数答案第6页，共7页 G(a)=d2+3a+2ah(a)+2,其中a<4,利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立. a x-a 【详解1c由题知（的定义装为0+）.）222x左. 若a≤0，则)>0，此时函数f四的增区间为0+ ,无减区间； 若a>0,由)k0可得0<x<a,由)>0可得>a 此时函数因的减区同为0@），增区间为a,+） 综上所述，当a≤0时，函数儿)的增区间为0，+），无减区间； 当>0时，函数的减区间为0a,增区间为a,切) 2由)0+2-28a a=Inx-x+2c 2x得√ 2x,参变量分离可得2Wx .-1 .Inx 令a创202-+26w,则g- 2+e-1=2-x+e= 2x x 4xvx x 当*ee)时，2-h>0,e-F>0.则)-20 当*w.2-hx<0,e-<0.则s)-三<0 所以函数3()在(0，c)上单调递增，在(e,+上单调递减， 所以面数s句的极大值为()名。42=e e 又当x→0时，g(x)→-0，所以a的取值范围是 (3)由题可知 F()()s+2a 2026届临门一脚导数答案第7页，共7页 则52222 .a_x+avx-a 由慰知、5是方程x+aN-a=0的两根，即方程(+a-a=0的两个根， 所以△=a+4a>0,由韦达定理可得V网+=-a>0,V属=-a>0 所以a<-4,=2,+=(G+V-2=a2+2a, 所以)FG)=+号+a+与+号+an=(++2+ah() XX2 +2at2a).addit3a+2al(-a)+2 令G(@=a+3a+2alh(-a)+2,其中a<4, 则G'(a=2a+3+2n(-a)+2=2a+2n(-a)+5 令H(a)=2a+2n(-a)+5,其中a<4, 则r@)=2+名-2a+00 aa 对任意的a<-4恒成立， 故函数G(@在，4)上为增函数，则6(a)kG(-4)=2血4-3=4n2-3<0, 所以G(a在←0,4)上单调递减，则Ga>G(-4)=6-161n2, 故F()+F()>6-16n2 2026届临门一脚导数答案第8页，共7页 7【分折】)求当a=时面数)的解新式与导恶数代冈。求出切线的解率，即可求得切线方程 2)利用放缩法转化为)一xnx)之20，再构造函数并结合导数证明不等式即可 3)取之，由2)得2r<x- 1 /2n+1 x,取一>引，然后利用累加法即可证结论 >1 【译解】①当0=l时.fx=-xhx,x0,f0-之， 则fx=2x-1-nx,所以f'(0=1, 1 1 所以切线方程为少-2=x-1,即x-y- 0 (2由题意得)=a2-xhx-,则f(x)=2ax-1-lnx, 1 因为心乞，所如2-xhx×-xhx克》 2-2 就证≥0，则证2-加x之0即可 令)式-nx分，则-h-, 2 令m)=-nx-,可得m)=1-=-l xx 当cL+w)时m(四>0，则m在+四)上单调递增， 而m0=0,则≥0，即≥0，得到在L+四）上单调运增， 而0=0，到20nf≥0 ，则 ,即 得证 1 (3)取2，由(2)得当x>l时，fx=号x2-xlnx a= 10 2026届临门一脚导数答案第9页，共7页 21n/2n+1 9 2n+1 二 则有 Y2n-1 Y2n-1 o2n+1 2n-1j2n+1, V2n-1 即lnV2n+1-lnV2n-1< 1 2n-12n+1' nV3n1≤x3n5-nv3< 3x5 ..Inv2n+1-In2n-12 1 所以 将上述武子相加得lh2n+13写+2n-i2n+7,得证 1 1 1 十 2026届临门一脚导数答案第10页，共7页