专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题13 利用导数解决函数的极值、最值 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 类型一 利用导数研究函数的极值 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数； 第二步 求方程的根； 第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数，求函数的极值. 【答案】极小值为，无极大值. 试题解析：第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数： 因为，所以的定义域为，所以； 第二步，求方程的根： 令得，； 第三步，判断在方程的根的左、右两侧值的符号： 当时，当时，； 第四步，利用结论写出极值： 所以时，有极小值为，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值． 【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为的极值且存在时，则有 【答案】D 【解析】 【分析】 由导函数及极值定义得解. 【详解】 不妨设函数则可排除ABC 由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有 故选：D 【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题 【答案】A 【分析】 设，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得的大小关系，得到答案. 【详解】 设，可得， 由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值， 所以函数既有极大值，也有极小值， 所以有两个根，即， 所以，可得且， 又由，可得， 由，可得， 所以，所以. 故选：A. 【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题 【答案】C 【分析】 先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值 【详解】 .令，则， 所以在上单调递减.因为， 所以当时，；当时，. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 故的极大值点为1，的极大值为 故选：C 【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数，． （1）求函数的极值； （2）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）对函数进行求导，分为和两种情形讨论单调性即可得极值； （2）令，根据导数判断函数的单调性证明即可. 【详解】 （1）∵，，∴， 当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值； 当时， 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 故函数的极小值为，无极大值. （2）证明：令， ， 故 ， 令的根为，即 ， 两边求对数得：，即 ， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ∴， ∴，即原不等式成立. 【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题 【答案】B 【分析】 依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解． 【详解】 解：依题意，有两个变号零点， 令，即，则， 显然，则， 设，则， 设，则， ∴在上单调递减， 又， ∴当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ∴，且时，，时，， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】 方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据（1）的