专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题12 导数与函数的单调性问题 【高考地位】 在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大. 类型一 求无参函数的单调区间 万能模板 内 容 使用场景 知函数的解析式判断函数的单调性 解题模板 第一步 计算函数的定义域； 第二步 求出函数的导函数； 第三步 若，则为增函数；若，则为减函数. 例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数. （1）当时，判断的单调性； 【解析】（1）当时，， 第一步，计算函数的定义域：. 第二步，求出函数的导函数： 第三步，令，则在上为减函数，且 所以，当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故递增区间为；递减区间为 【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________． 【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题 【答案】；（区间两端开闭都可以） 【分析】 利用三角恒等变换得，再利用换元法设，利用导数和复合函数的单调性解不等式，即可得到答案； 【详解】 令， 设，则， ， ，， ， ， 在区间单调递增. 故答案为：. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则. 【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________. 【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷） 【答案】 【分析】 首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】 因为，， 所以，所以是偶函数. 因为 当时，，所以在上单调递增. 又因为是偶函数，所以在上单调递减. 所以，即， 所以，即，解得或. 故答案为：. 【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求得函数单调性与奇偶性，再结合指数函数与对数函数的性质，得出，得到，进而得到，即可得到答案. 【详解】 由题意，函数的定义域为， 且，即， 所以函数是上的奇函数， 又由，所以函数为上的单调递减函数， 又因为，且，即， 所以，可得， 又由函数是上的奇函数，可得， 所以，即. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，在上单调递减，并推导出函数的图象关于直线对称，进而可判断出各选项的正误. 【详解】 构造函数，则， 当时，. 当时，则，； 当时，则，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，所以， 即，故函数的图象关于直线对称． 对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误； 对于B选项，，即，即，B选项正确； 对于C、D选项，，即，C、D选项错误. 故选：B． 【点睛】 本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题. 类型二 判定含参数的函数的单调性 万能模板 内 容 使用场景 函数的解析式中含有参数 解题模板 第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数； 第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间. 例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数. （1）讨论的单调性； 【解析】（1）第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数： ， 记. 第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0： 当时，因为，所以，所以函数在上单调递增； 当时，因为，所以，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间： 所以函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增. 【变式