第07讲 平面向量的线性运算-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第7讲 平面向量的线性运算 知识一、实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 （1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； （2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； （3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； （4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； （5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； （6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 （1）几个向量相加的多边形法则； （2）向量减法的三角形法则； （3）向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． （1）如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． （2）如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 （1）； （2）； （3）． 5.平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 6.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 题型探究 题型一、向量的相关概念与平面向量定理 【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（ ） A．； B．； C．，； D．，． 【答案】A 【解析】A. ∵，不能判断，故本选项，符合题意 B. ∵，∴，故本选项，不符合题意； C.∵，，∴，故本选项，不符合题意； D.∵，，∴，故本选项，不符合题意； 故选：A． （2）（2021·上海九年级一模）已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知：=2，=-3 ∴= ∴=2= 故选：B． （3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】解：根据向量的概念，知： A、C、D正确； B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误． 故选：B． （4）（2019·上海）下列说法中，正确的是（　　） A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0 B．如果是单位向量，那么＝1 C．如果||＝||，那么＝或＝﹣ D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥ 【答案】D 【解析】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝． B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是＝1． C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行． D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确． 故选：D． 题型二、作图题 【例2】已知非零向量，求作，． 【答案】图见解析. 【解析】在平面内任取一点A,做,在射线AB上，取,则； 在射线AB的反向延长线上，取,则； 题型三、向量的表示与相等向量 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量． A B C D E F G H O 【答案】，与相等的向量有． 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个． 题型四、向量的运算 【例4】填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；． 【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路． 【例5】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【例6】设、是已知向量，解关于向量的方程． 【答案】． 【解析】解：∵，∴，∴． 【例7】用单位向量表示下列向量： （1）与方向相同，且长度为9； （2）与方向相反，且长度为5； （3）与方向相反，且长度为． 【答案】． 【解析】此题主要考查用单位向量来表示已知向量,． 题型五、向量的证明 【例8】已知向量、满足，求证：向量和平行． 【答案】证明见解析 【解析】 去分母： 去括号： 移项合并得： 系数化1： 所以，向量和平行． 【例9】已知，，其中，那么向量与是否平行？ 【答案】平行． 【解析】联立方程组：，解得，根据实数与向量相乘的意义，可知 所以，向量与平行． 举一反三 1.下列说法中，正确的是