专题07 二次函数之三角形存在性问题-2022年中考数学之二次函数核心考点突破

专题07 二次函数之三角形存在性问题 特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。 直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。 等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。 一、解答题（共12小题） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点． （1）求二次函数的解析式； （2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标； （3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）过点C作KC⊥x轴交于点K， ∵∠BAO+∠CAK＝90°，∠BAO+∠CAK＝90°， ∴∠CAK＝∠OBA， 又∠AOB＝∠AKC＝90°，AB＝AC， ∴△ABO≌△CAK（AAS）， ∴OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，故点C的坐标为（3，1）， 将点C的坐标代入二次函数表达式得：1＝×9+3b﹣2， 解得：b＝﹣， 故二次函数表达式为：y＝x2+x﹣2； （2）设若直线l与直线BC、AC分别交于点M、N， 把点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+2得：1＝3k+2， 解得：k＝﹣， 即直线BC的表达式为：y＝﹣x+2， 同理可得直线AC的表达式为：y＝x﹣， 直线AB的表达式为：y＝﹣2x+2， 设点M的坐标为（x，﹣x+2）、点N坐标为（x，x2+x﹣2）， 直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分， 设：S△CMN＝S△ACB， 即：×（3﹣x）（﹣x+2﹣x2﹣x+2）＝××， 解得x＝3， 即：直线l与x轴的交点坐标为（3+，0）或（3-，0）； （3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，点B′的坐标为（2，﹣2）， 设：点P的坐标为（x，y），y＝x2+x﹣2， 直线B′C表达式的k值为：3，则直线PC表达式中的k值为：﹣， 即：（y+2）/(x-2)＝﹣， 把y＝x2+x﹣2，代入上式整理得：3x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣1或， 则点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）． 【知识点】二次函数综合题 2.已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得a-b-3a=0 -3a=0 解得 a=-1 b=2 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4）， 定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴CD＝， BC＝＝3， BD＝＝2， ∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形； （3）存在． y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1． ①若以CD为底边，则P1D＝P1C， 设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即y＝4﹣x． 又P1点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即x2﹣3x+1＝0， 解得x1＝(3+)/2，x2＝(3-)/2＜1，应舍去， ∴x＝(3+)/2， ∴y＝4﹣x＝(5-)/2， 即点P1坐标为（(3+)/2，(5-)/2）． ②若以CD为一腰， ∵点P2在对称轴右侧的