专题10 函数应用问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题10 函数应用问题 【高考地位】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键. 方法 解函数应用题的一般步骤 万能模板 内 容 使用场景 函数的实际应用问题 解题模板 第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题 的合理性. 例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且. ⑴ 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入年总成本）. 【答案】(1)详见解析;(2) 千件. 【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件 并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当时， 第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式； (2)由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。学*科网 【变式演练1】【山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）】我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系，声音的强度常用（单位：瓦/米，即）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（，其中是人平均能听到的声音的最小强度），国家《城市区域噪声标准》中规定白天公共场所不超过分贝，则要求声音的强度不超过（ ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】 令，解此不等式即可得解. 【详解】 令，可得，. 故选：B. 【变式演练2】“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（） A．分 B．分 C．分 D．分 【来源】全国2021届高三高考数学（理）演练试题（一） 【答案】B 【分析】 由可求得，将，，代入中，可求得增加分数，由此可得结果. 【详解】 由题意得：，； ， 该学生在高考中可能取得的总分约为分. 故选：B. 【变式演练3】将名学生分成两组参加城市绿化活动，其中组布置盆盆景， 组种植棵树苗.根据历年统计，每名学生每小时能够布置盆盆景或者种植棵树苗.设布置盆景的学生有人，布置完盆景所需要的时间为，其余学生种植树苗所需要的时间为（单位：小时，可不为整数）. ⑴写出、的解析式； ⑵比较、的大小，并写出这名学生完成总任务的时间的解析式； ⑶应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？ 【答案】（1）， ， ；（2）见解析；（3）布置盆景和种植树苗的学生分别有人或人. 【解析】试题分析：（1）设布置盆景的学生有x人，则B组人数为51-x，可求出A组所用时间， ， ，化简即可； （2）通过作差比较g（x）、h（x）的大小，确定A组与B组的所需时间，写出分段函数的解析式即可． （3）通过两组用时比较，计算x=20与x=21时