专题08 函数零点问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题08 函数零点问题 【高考地位】 函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查. 类型一 零点或零点存在区间的确定 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可. 例1 函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0： 函数单调递增,只有一个零点,而, ； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可： 由,可知函数的零点在．故选B． 考点：零点存在定理． 【变式演练1】方程的解所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，设函数，则， 所以，所以方程的解所在的区间为，故选B. 考点：函数的零点. 【变式演练2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间. 【详解】 当时，. 当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以 令，得，因为，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：A 【变式演练3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） A． B． C． D． 【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一） 【答案】B 【分析】 构造函数，由零点存在定理判断． 【详解】 设，是上的增函数，在和上都是减函数， ，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形， ，，所以在上有零点． 所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为 故选：B． 类型二 零点的个数的确定 方法1：定义法 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 判断函数的单调性； 第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积 小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点； 第三步 得出结论. 例2.函数的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】第一步，判断函数的单调性: 由已知得，所以在R上单调递增； 第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间： 又因为，，所以 第三步，得出结论： 所以的零点个数是1，故选B． 考点：函数的零点． 【变式演练4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【来源】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【答案】A 【分析】 函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 【详解】 ∵，则函数是周期的周期函数． 又∵函数是定义在上的偶函数，且时，， ∴当时，， 令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图， 显然与在上有1个交点，在上有一个交点， 当时，，而， 所以或时，与无交点． 综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A 【变式演练5】方程的根的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C． 考点：图象的交点． 【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个