专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

学会解题+万能模板 专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用 【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。 类型一 分段函数 万能模板 内 容 使用场景 分段函数 解题模板 第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类； 第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论. 例1 函数 ，若实数a满足=1，则实数a的所有取值的和为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 令和得 第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 若则，所以，所以； 若则，所以， 所以或，即或； 若则，所以， 所以（舍）或（舍）； 若则，所以， 所以或； 若则，所以， 所以（舍）或； 第三步 得出结论. 所以所有可能值为，其和为，故选C． 【变式演练1】已知函数，则______． 【来源】江苏省扬州中学2021届高三3月份高考数学考前试题 【答案】 【分析】 判断的范围，然后利用时，进行转化，将转化为，然后再利用分段函数的解析式求解即可． 【详解】 函数， 因为，且， 则 ． 故答案为：． 【变式演练2】已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【来源】重庆市清华中学2022届高三上学期7月月考数学试题 【答案】A 【分析】，当时，，所以或； 当时，，所以，所以不等式的解集是，，， 故选：A． 例2 已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0； 第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解： 易判断在区间单调递增，因为在上是增函数，所以函数 在单掉递增； 第三步，得出结论： 所以只需满足，解得：，所以答案为C． 考点：1．分段函数；2．函数的单调性． 点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）. 【变式演练3】【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果. 【详解】 因为函数在上递减，在上递增，又， 所以，且，令，则， 所以，， 所以， 设函数，， ∵在上单调递增， ∴，即， ∴， 故选：B． 例3 若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) 【答案】D 【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0和1； 第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解： 因为当时，在时取得最小值， 由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为， 第三步，得出结论： 因此，解得，选D． 考点：分段函数的单调性与最值问题． 【变式演练4】已知函数，则 ，的最小值是 ． 【答案】，. 【解析】 ，当时，，当且仅当时，等 号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为. 考点：分段函数 【变式演练5】已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________. 【来源】新高考2021届高三考前保温热身模拟卷数学试题（五） 【答案】 【分析】 作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围. 【详解】 分别作出、的图象中下图所示，由图可以看出当时，有确定的最大值，所以这时存在，使得对于任意都有. 故答案为：. 类型二 含参数函数的最值问题 万能模板 内 容 使用场景 含参函数在区间上的最值问题 解题模板 第一步 通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么