1.1.2 空间向量的数量积运算（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 一、选择题： 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(　　) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D．4 4．已知非零向量、不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（ ）． A． B．97 C． D．61 6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2， b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）． A．－6 B．6 C．3 D．－3 7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）． A．6 B． C．3 D． 二、填空题： 8．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________． 9．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。 10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________． 11．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________． 三、解答题 12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积： （1）；（2）；（3）；（4）。 13．如右图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO． 求证：AO⊥CD1． 14．已知在平行六面体中，AB=3，AD=2，AA＇=4，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，求BD＇的长． 15.在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点， ⑴ 求证：；⑵ 求所成角的余弦；⑶ 求的长 答案与解析 1．【答案】D 【解析】①②③正确，④不正确。 2.【答案】　B 【解析】　当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B. 3.【答案】　C 【解析】　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝|a|2＋6|a||b|cos<a，b>＋9|b|2， ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°， ∴|a＋3b|2＝13， ∴|a＋3b|＝. 4．【答案】A 【解析】∵， ∴。 5．【答案】C 【解析】 ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。 6．【答案】B 【解析】 由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。 7．【答案】B 【解析】 ∵， ∴ ∴，即AC1的长为 8．【答案】 【解析】 将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。 9．【答案】 【解析】在上的射影的长度为。 10. 【答案】4 【解析】：由已知，可得a·b＝0，a·c＝b·c.由a·(a＋b＋c)＝0，可得a·c＝b·c＝－1，将(a＋b＋c)2＝0展开，求得|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 11. 【答案】1－ 【解析】a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－. 12.【解析】 （1）在空间四边形ABCD中，且， ∴。 （2），，， ∴。 （3），， 又，， ∴。 （4）∵，，， ∴。 ∴。 13．【解析】∵