1.1.2 空间向量的数量积运算（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算

一、选择题：

1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ）

①   ②   ③  ④

A．4      B．3      C．2      D．1

2．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C. 充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(　　)

A. 　　　  B. 　　　

C. 　　　  D．4

4．已知非零向量、不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（    ）

A．垂直      B．共线      C．不垂直      D．以上都可以

 

5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（    ）．

    A．    B．97    C．    D．61

6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2，

b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（    ）．

A．－6    B．6    C．3    D．－3

 

7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（    ）．

  A．6    B．    C．3    D．

 

二、填空题：

8．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．

9．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。

10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________．

11．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．

 

 

三、解答题

12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：

（1）；（2）；（3）；（4）。

 

 

 

 

 

 

 

 

13．如右图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．

求证：AO⊥CD1．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14．已知在平行六面体中，AB=3，AD=2，AA＇=4，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，求BD＇的长．

 

 

15.在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，

⑴ 求证：；⑵ 求所成角的余弦；⑶ 求的长

 

 

答案与解析

1．【答案】D

【解析】①②③正确，④不正确。

2.【答案】　B

【解析】　当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.

3.【答案】　C

【解析】　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2

＝|a|2＋6|a||b|cos<a，b>＋9|b|2，

∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，

∴|a＋3b|2＝13，

∴|a＋3b|＝.

4．【答案】A

【解析】∵，

∴。

  5．【答案】C

【解析】  ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。

6．【答案】B

【解析】

 由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。

7．【答案】B

【解析】  ∵，

∴

 

∴，即AC1的长为

8．【答案】

【解析】  将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。