1.1.2空间向量的数量积运算（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2空间向量的数量积运算 题型一 数量积的概念 1．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 2．（21-22高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 3．（多选）（19-20高二·全国·课后作业）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 4．（多选）（21-22高二上·浙江温州·期中）下列四个结论正确的有 （    ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 【答案】AB 【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误. 【详解】对选项A，若，则或或，故A正确. 对选项B，因为， 所以， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B正确. 对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为， 的夹角为， 则，，，故C错误. 对选项D，因为， 当时，，故D错误. 故选：AB 5．（20-21高二上·天津西青·阶段练习）给出下列命题： ①空间中任意两个单位向量必相等； ②若空间向量满足，则； ③在向量的数量积运算中； ④对于非零向量，由，则，其中假命题的个数是 ． 【答案】4 【分析】根据空间向量的性质，结合数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误； 对于②：空间向量满足，但方向可能不同，故不能得到，故②错误； 对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误； 对于④：由，可得， 所以，无法得到，故④错误. 所以错误的命题个数为4. 故答案为：4 题型二 数量积的运算 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以为基底表示后可求的值. 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 ， 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 题型三 空间向量的夹角 1．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值. 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【分析】由异面直线与成角，可知与夹角为或，由，得出，可得出，化简后可求得的值，利用空间向量的数量积可计算出的值，进而可得出异面直线与所成角的大小. 【详解】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 题型四 空间向量的模长 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 .    【答案】 【分析】记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案； 【详解】记，则， 所以， 由于，故 ， 故，即的长为. 故答案为： 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【答案】或 【分析】设与的夹角为，得到或，化简，代入即可求解. 【详解】如图所示，在矩形中，，可得， 则， 在四面体中，设与的夹角为， 因为异面直线与所成角为，则或， 由 ，所以或. 故答案为：或 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 题型五 投影向量 1．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 2．（多选）（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D. 【详解】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴ ，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 4．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【答案】 【分析】 由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解 【详解】在中，由余弦定理得，， 而平面ABC，，故，， 在中，， 即，得 故向量在向量上的投影向量是 故答案为： 5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求 . 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得 ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 4．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 6．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 7．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为为与的交点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合向量的运算，求得，再由空间向量的线性运算和数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 所以，即两向量的夹角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2空间向量的数量积运算 题型一 数量积的概念 1．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（21-22高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 3．（多选）（19-20高二·全国·课后作业）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（21-22高二上·浙江温州·期中）下列四个结论正确的有 （    ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 5．（20-21高二上·天津西青·阶段练习）给出下列命题： ①空间中任意两个单位向量必相等； ②若空间向量满足，则； ③在向量的数量积运算中； ④对于非零向量，由，则，其中假命题的个数是 ． 题型二 数量积的运算 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 题型三 空间向量的夹角 1．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 3．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 4．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 题型四 空间向量的模长 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 .    3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 题型五 投影向量 1．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 4．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求 . 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 6．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 7．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$