1.1.1空间向量及其线性运算（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算

（基础知识+基本题型）

知识点一  空间向量及其有关概念

1．空间向量的概念及表示方法

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等．

（2）表示方法：

和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：一种是用

有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；另一种是用表示．如图所示，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或

2．零向量与单位向量

长度为0的向量叫做零向量，记为．当有向线段的起点与终点重合时，．

模为1的向量称为单位向量，非零向量的单位向量为或．

3．相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．

拓展

(1)在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立．

(2)和平面向量一样，空间向量也不能比较大小．

（3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同．

知识点二  空间向量的加减运算

量空间向量的位置	已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
空间向量的加法运算	作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
空间向量的减法运算	向量叫做与的差，记作，即
空间向量的加法运算律	加法交换律
	加法结合律

对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的．

（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算．

（2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；表示从向量的终点指向向量的终点的向量．

知识点三　空间向量的数乘运算

1．空间向量的数乘运算的定义

与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

2．数乘向量与向量的关系　

的范围	的方向	的模
	与向量的方向相同
	，其方向是任意的
	与向量的方向相反

3．空间向量的数乘运算满足的运算律

（1）分配律：；      （2）结合律：．

可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算：

（1）可以把向量的模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．

（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．

（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．

知识点四　空间向量的共线问题

1．共线（平行）向量的定义

若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．

在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：

（1）零向量和空间任一向量是共线向量．

（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线．

2．向量共线的充要条件

对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．

对此充要条件的理解，应从以下几个方面正确把握：

（1）在此充要条件中，要特别注意，若不加，则该充要性不一定成立，例如，若则，但不存在，该充要性也就不成立了．

（2）该充要条件包含两个命题：

①存在唯一的实数，使；

②存在唯一的实数，使．

（3）向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据，但必须在（或）上有一点不在（或）上．

3．空间直线的向量表示　

如图3．1-14，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使．①