1.1.1空间向量及其线性运算（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算 （基础知识+基本题型） 知识点一 空间向量及其有关概念 1．空间向量的概念及表示方法 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等． （2）表示方法： 和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：一种是用 有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；另一种是用表示．如图所示，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或 2．零向量与单位向量 长度为0的向量叫做零向量，记为．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量，非零向量的单位向量为或． 3．相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． 拓展 (1)在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立． (2)和平面向量一样，空间向量也不能比较大小． （3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 知识点二 空间向量的加减运算 量空间向量的位置 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 空间向量的加法运算 作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 空间向量的减法运算 向量叫做与的差，记作，即 空间向量的加法运算律 加法交换律 加法结合律 对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的． （1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算． （2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；表示从向量的终点指向向量的终点的向量． 知识点三　空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2．数乘向量与向量的关系　 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3．空间向量的数乘运算满足的运算律 （1）分配律：； （2）结合律：． 可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算： （1）可以把向量的模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点四　空间向量的共线问题 1．共线（平行）向量的定义 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线． 2．向量共线的充要条件 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 对此充要条件的理解，应从以下几个方面正确把握： （1）在此充要条件中，要特别注意，若不加，则该充要性不一定成立，例如，若则，但不存在，该充要性也就不成立了． （2）该充要条件包含两个命题： ①存在唯一的实数，使； ②存在唯一的实数，使． （3）向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据，但必须在（或）上有一点不在（或）上． 3．空间直线的向量表示　 如图3．1-14，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使．① 其中向量叫做直线的方向向量． 在上取，则①式可化为．② ①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线可由空间一点及直线的方向向量唯一确定． 拓展 （1）三点共线问题，可以转化为以这三点组成的两向量共线问题，利用两向量共线的充要条件来解决． （2）对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 知识点五　空间向量的共面问题 1．共面向量的定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使，对于向量共面的充要条件，还应注意以下几点： （1）该充要性中，与是不共线的，若与共线，则不成立． （2）设非零向量所在的直线分别为，则有平面平面或平面；三线共面共面，反之不成立． （3）向量共面不具有传递性． 3．空间共面向量的表示 如图3．1-15，（1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．