4.3 对数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 4.3 对数 学习导航 1、 了解对数、常用对数、自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化. 2、 会求简单的对数值． 3、 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 4、 掌握换底公式及其推论；能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 教学过程 一、对数的概念 1．对数的定义： 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．常用对数与自然对数 例题1 1．对于下列说法： （1）零和负数没有对数； （2）任何一个指数式都可以化成对数式； （3）以10为底的对数叫做自然对数； （4）以e为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 由对数的相关概念可判断四个命题是否正确. 【详解】 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故（2）错误．由定义可知（3）（4）均错误．只有（1）正确． 故选:C. 二、对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. (2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 例题2 2．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（ ） A．100=1与lg1=0 B．与 C．log39=2与32=9 D．log55=1与51=5 【答案】B 【分析】 根据指数式与对数式的互化逐一判断即可. 【详解】 A.1的对数等于0，即，可得到：100=1与lg1=0；故正确; B.对应的对数式应为,故不正确； C.；故正确， D.很明显log55=1与51=5是正确的； 故选:B. 3、 对数的性质 1．loga1＝0(a>0，且a≠1)． 2．logaa＝1(a>0，且a≠1)． 3．零和负数没有对数． 4.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 拓展：＝logaM(n∈R，m≠0) 例题3 3．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】 根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】 由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 4、 换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 例题4 4．已知，且，则的值为（ ） A．36 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，由指数式与对数式的互换公式可得，，进而变形可得，，又由，由对数的运算性质计算可得答案． 【详解】 解：根据题意，，则有，， 则，， 若，即，所以，解得，因为 所以； 故选：． 课时训练 1．已知，则的值为（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 【答案】B 【分析】 利用对数的运算法则和对数性质得到关于的代数式，转化为关于的一元二次方程，求得的值，注意根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值. 【详解】 ，. ∴. ∵，∴，解之得:或. ∵，∴，∴. ∴. 2．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（ ） A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞） 【答案】A 【分析】 根据复合函数的单调性质可知对数函数为增函数，则，再结合真数范围即可得结果． 【详解】 由函数在（0，2）上为减函数， 可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，， 故有，解得 故选：A． 3．设，且，则（ ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】A 【分析】 根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】 由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得． 故选：A. 4．已知，则（