专题20正弦、余弦、正切函数图像与性质-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题20正弦、余弦、正切函数图像与性质--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2022年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型. 三、自主梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 [微点提醒] 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 四、高频考点+重点题型 考点一、正弦、余弦、正切函数的奇偶性考察 例1.（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数的部分图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】:因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故可以排除B，D.又因为函数在上函数值为正，故排除C. 对点训练1.（2021·福建省高三其他（文））图数，的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知：， 所以为奇函数，故排除B，D. 又因为时，，故排除C. 对点训练2.（2021·浙江高三其他模拟）函数y=在[-2，2]上的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD. 【详解】 , 当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A; ,故排除CD, 故选：B 对点训练3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 考点二、正弦、余弦、正切函数图像的考察 例2.（2021·调兵山市第一高级中学）方程的根的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】分别作函数图象，如图， 由图可得交点个数为7，所以方程的根的个数是7 对点训练1.（2021·山西省高三其他（文））对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，作出函数的图象，如图所示： 所以，的值城为，①错误； 函数的最小正周期是，③错误； 当且仅当时，函数取得最大值，②正确； 当且仅当时，，④正确. 考点三、正弦、余弦、正切函数单调性的考察 例3. 函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　) A.　　　　　　 B．[0，π] C. D． 【答案】D 【解析】将y＝cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D. 对点训练1.（2020·河南洛阳（理））已知，，则，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，且， 所以. 故选：. 考点四、解三角不等式 例4.（2021·武功县普集高级中学）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：. 所以函数的定义域是. 【例1】函数y＝的定义域为(