专题22正弦定理、余弦定理-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题22正弦定理、余弦定理--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2022年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型. 三、自主梳理 1． 正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． 常用变形： ① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ② sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A． 2． 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC cosA＝，cosB＝，cosC＝． 3． 三角形中的常见结论 (1) A＋B＋C＝π． (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB． (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC的面积公式 ① S＝a·h(h表示a边上的高)； ② S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝； ③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)； ④ S＝，其中P＝(a＋b＋c)． 四、高频考点+重点题型 考点一、三角形中求边、求角、求周长、求面积 例1-1（求角） (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝ (3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝ 【解析】　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝， 结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. (2)∵(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， ∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc. 所以cos A＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (3)因为a2＋b2－c2＝2abcos C，且S△ABC＝， 所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1. 又C∈(0，π)，故C＝. 例1-2（求边） （1）已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　) A．2　　　　　B．1 C. D. （2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，cos(A＋C)＝－，则c＝(　　) A. B．5 C. D. 【答案】（1）D （2）A 【解析】（1）由正弦定理＝⇒b＝＝. 【解析】（2）因为cos(A＋C)＝－，所以cos B＝，又因为a＝3，b＝2，所以b2＝c2＋a2－2cacos B，即4＝c2＋9－2c，即c2－2c＋5＝0，解得c＝. 例1-3（求面积） 在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B． C. D． 【答案】D 【解析】在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D. 对点训练1.(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 【解析】方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条