第16讲 对数函数-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第16讲 对数函数 知识一 对数函数的定义 当a固定，且a>0,且a≠1时，x以a为底的对数函数y=logax确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数（logarithmic function）,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). 题型一、指数函数的概念与解析式或函数值 【例1】(1)指出下列函数哪些是对数函数？ ①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1. 【答案】②是 【解析】①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． ②符合对数函数的结构形式，是对数函数． ③自变量在底数位置上，不是对数函数． ④对数式log2x后又加上1，不是对数函数． (2)已知对数函数y=logax的图像过点P(8,3)，则________. 【答案】－5 【解析】y=logax的图像过点P(8,3)， ∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2. ∴y＝log2x， (3)若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________. 【答案】2 【解析】由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2. 又a>0且a≠1，所以a＝2. 　方法总结:判断一个函数是对数函数的方法 题型二、指数函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(x－1)(3－x)． 【答案】（1）（1,2）∪（2，+∞）；（2）（-∞，2）；（3）（1,2）∪（2，3） 【解析】　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2. 所以函数y＝的定义域是（1,2）∪（2，+∞）． (2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2. 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是（-∞，2）． (3)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2. 所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是（1,2）∪（2，3）． 方法总结 (1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 ①分母不能为0； ②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤 ①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．　 题型三、指数函数的图像 【例3】(1)画出函数y=lg|x-1|的图像; (2)画出函数y=|lg(x-1)|的图像. 【答案】图像见解析. 【解析】(1)①先画出函数y=lg x的图像(描点法). ②作此图像关于y轴对称的曲线,两条曲线组成函数y=lg|x|的图像. ③将y=lg|x|的图像整体右移1个单位,得到函数y=lg|x-1|的图像(如图). (2)①先画出函数y=lg x的图像. ②将y=lg x的图像右移1个单位得到函数y=lg(x-1)的图像. ③将y=lg(x-1)的图像中x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到函数y=|lg(x-1)|的图像(如图). 方法总结：对数函数图像的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图像时，保留y＝f(x)(x≥0)图像不变，x<0时y＝f(|x|)的图像与y＝f(x)(x>0)的图像关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图像时，保留y＝f(x)的x轴及上方图像不变，把x轴下方图像以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 举一反三 1.下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝ln x　　　　　　　　 B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 【答案】A 【解析】对于B,真数x+1大于0才有意义，故B不是对数函数； 对于C，底数x没有限定条件，不符合对数函数的定义； 对于D，同理底数真数不符合题意；故选A. 2.若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________． 【答案】4 【解析】由题意可知解得a＝4. 3.点A(8，－3)和B(n，2)在同一个对数函数图像上，则n＝________． 【答案】 【解析】设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)． 则由题意可得y＝－3，即loga8＝－3， 所以a－3＝8，即a＝ 所以y＝，故由B(n，2)在函数图像上可得f(n)＝＝2， 所以n＝＝. 4.已知对数函数f(x)的图像过点. ①求f(x)的解析式； ②解方程f(x)＝2. 【答案】①f(x)＝log16x；②x＝256. 【解析】①由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由函数图像过点可得f(4)＝， 即loga4＝，所以4＝，解得a＝16，故f(x)＝log1