第二章 8 平面与平面垂直的判定-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学必修2同步资源（人教A版）

高中数学 必修2 点、直线、平面之间的位置关系 测试内容：平面与平面垂直的判定 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点梳理 1．二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： (4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β； ③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB． 2．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β． (4)判定定理： 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 初试身手 1．如图所示的二面角可记为(　　) A．α­β­l B．M­l­N　　　C．l­M­N　　　D．l­β­α 2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　) A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 3．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________． 题型一：二面角的计算问题 【例1】　 如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值． 练1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小． 题型二：平面与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 练2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD. 题型三：线线、线面垂直的综合 【例3】　如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD． 练3、本例中，条件不变，试求二面角E­BD­C的正切值． 课堂小练 1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　) A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________． 4．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. 证明：平面AB1C⊥平面A1BC1. 题型四：线面垂直性质定理的应用 【例4】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 练4．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 题型五：面面垂直性质定理的应用 【例5】　如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 练5．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. 题型六：线线、线面、面面垂直的综合应用 【例6】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. 练6本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小． 课堂小练 1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是(　　) A．a⊥α B．a∥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α 2．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的两个命题是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 3．如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 4．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC. $ 高中数学 必修2 点、直线、平面之