2.3 双曲线（提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）

2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（提高） 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3 双曲线 一．选择题 1．（2021•曲靖模拟）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1：S2＝（　　） A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2 【完整解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1渐近线方程为y＝±x，不妨取l1：y＝x，l2：y＝﹣x， l1⊥l2，设M（x0，y0），过M与l1平行的直线方程为l1′：y＝x﹣x0+y0， 过M与l2平行的直线方程为l2′：y＝﹣x+x0+y0， l1′与l2的交点A，联立，解得； l2′与l1的交点为B，联立，解得． 则|OA|＝|xA﹣0|＝|x0﹣y0|，同理|OB|＝|x0+y0|， 则S2＝|OA|•|OB|＝＝； 又F（，0），△OHF为等腰直角三角形， ∴|OH|＝|HF|＝，则． ∴S1：S2＝1：1． 故选：A． 2．（2021春•焦作期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，过该双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为H，且交另一条渐近线于点A，则＝（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：由已知可得，， 如图，F（c，0）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝， 则|OH|＝a，故tan，可得直线AF的斜率为﹣， 则AF：y＝﹣， 联立，解得，则A（）； 联立，解得，则H（）． 则． 故选：C． 3．（2021春•澄海区校级月考）F1，F2是双曲线l：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若＝5，M为PQ的中点，且⊥，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【完整解答】解：连接F2P，F2Q，设|F1P|＝t，则由题意可得|PM|＝|MQ|＝2t， ∵P，Q为双曲线的点，∴|F2P|＝t+2a，|F2Q|＝5t﹣2a， ∵M为PQ的中点，且⊥， ∴|F2P|＝|F2Q|，得t+2a＝5t﹣2a，则t＝a， ∴|F1P|＝a，|PM|＝|MQ|＝2a，|F2P|＝|F2Q|＝3a， 在直角三角形PMF2中，cos∠MPF2＝＝， 在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝﹣， ∴2c2＝7a2，即e＝， 故选：A． 4．（2021春•汕尾期末）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF2|＝3|BF2|．若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．4 【完整解答】解：设|BF2|＝x，因为|AF2|＝3|BF2|，则|AF2|＝3x， 由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+3x，|BF1|＝2a+x， 因为|AB|＝|AF1|⇒4x＝2a+3x⇒x＝2a， 所以|BF2|＝2a，|AF2|＝6a，|AF1|＝8a，|BF1|＝4a， 因为∠F1F2B+∠F1F2A＝π，所以cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0， 由余弦定理可得， 即，解得． 故选：B． 5．（2021春•瑶海区月考）已知A（﹣1，0），B（1，1），若曲线C：x2﹣y2＝0上的点P满足：|PA|＝|PB|，则符合条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【完整解答】解：设P（x，y）， ∵A（﹣1，0），B（1，1）， ∴|PA|＝，|PB|＝， ∵|PA|＝|PB|， ∴＝，化简可得，x2+y2﹣6x﹣4y+3＝0 ①， ∵x2﹣y2＝0， ∴y＝±x， 当y＝x时，①式化简为2x2﹣10x+3＝0，解得， 即有两个P点（，），， 当y＝﹣x时，①式化简为2x2﹣2x+3＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×3＜0，故方程无解， 综上所述，符合条件的点P的个数为2个． 故选：B． 6．（2021•武侯区校级模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：易知双曲线中，， 则， 又，即， 又， ∴， 如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN， 则， ∴＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13﹣6sin2θ