2.2 椭圆（提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）

2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（提高） 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2 椭圆 一．选择题 1．（2021春•瑶海区月考）点F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点．点P为椭圆C内部的动点．则△PF1F2周长的取值范围为（　　） A．（2，6） B．[4，6） C．（4，6） D．[4，8） 【完整解答】解：设椭圆C的半焦距为c， ∵椭圆C：+＝1， ∴a＝2，b＝， ∴，即|F1F2|＝2c＝2， △PF1F2周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|， 当P在F1F2之间时，|PF1|+|PF2|最小值为2，但此时构不成三角形，故|PF1|+|PF2|+|F1F2|＞2+2＝4， 当P在椭圆上时，|PF1|+|PF2|＝2a＝2，△PF1F2周长取得最大值，但点P为椭圆C内部的动点． 故|PF1|+|PF2|+|F1F2|＜2a+2＝6， △PF1F2周长的取值范围为（4，6）． 故选：C． 2．（2021春•瑶海区月考）设椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c， 根据正弦定理可得2R＝＝＝， ∴R＝，r＝R＝． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a， 由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3mn， ∴mn＝， ∴＝mnsin＝， 又＝（m+n+2c）•r＝， ∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0， 解得：e＝或e＝﹣1（舍）． 故选：B． 3．（2021春•瑶海区月考）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（）．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：∵点P在椭圆上，则，即， ∴＝ ＝＝， ∵∈[0，a2]，∴∈[]， 则∈[]， ∴R∈[]， ∵曲率半径的最大值是最小值的8倍， ∴，整理得a＝2b， 则椭圆的离心率为e＝， 故选：C． 4．（2021•保定二模）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若|AF1|：|AB|：|BF1|＝3：4：5，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：设|AF2|＝t，|AF1|＝3x，则|AB|＝4x，|BF1|＝5x， 由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a， 所以t+3x＝5x+（4x﹣t），解得t＝3x，a＝3x， 因为|AF1|：|AB|：|BF1|＝3：4：5， 所以△ABF1是以A为直角的直角三角形， 故|F1F2|＝， 则， 故离心率为． 故选：D． 5．（2021•温州模拟）如图，椭圆，P是直线x＝﹣4上一点，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，直线AB与OP交于点M，则sin∠PMB的最小值是（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：设A（x1，y1），若A在椭圆的上半部，则y＝•，则y'＝＝﹣， A在椭圆上，+＝1， y'|＝﹣＝﹣， 所以过A的点的切线方程：y﹣y1＝﹣（x﹣x1），即3x1x+4y1y＝3x12+4y12＝12， 即+＝1， 同理可得A在椭圆的下半部分时， 过A的点的切线方程为+＝1，A为左右顶点时，切线方程也是+＝1， 综上所述：在A处的切线方程：+＝1， 设B（x2，y2），同理可得在B处的切线方程为：+＝1， P在x＝﹣4上，设P（﹣4，m）， 因为两条直线投过P，所以， 所以直线AB的方程为：﹣x+＝1， 可得直线AB恒过定点（﹣1，0），该直线AB 过椭圆的右焦点F， 直线OP的方程为：y＝﹣x， 则 解得：，即M（﹣，）， kAB＝，kPF＝＝﹣， 所以kAB•kPF＝﹣1， 所以AB⊥PF， |PF|＝，|PM|＝＝， 所以sin∠PMB＝＝＝ ＝＝＝≥＝， 当且仅当m2＝，即m＝±2， 故选：A． 6．（2019秋•杭州期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆4x2+y2＝1上两个不同点，且满足，则|2x1+y1﹣1|+|2x2+y2﹣1|的最大值为（　　） A． B．4 C． D． 【完整解答】解：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆4x2+y2＝1上两个不同点， 则，设2x＝m，y＝n，C（m1，n1），D（m2，n2），O为坐标原点， 则，， ∴，且， ∴C、D