2.1 曲线与方程（基础练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）

2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（基础） 第二章《圆锥曲线与方程》 2.1 曲线与方程 一．选择题 1．（2020秋•碑林区校级期末）方程（x﹣y）2+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是（　　） A．两条直线 B．一条直线和一双曲线 C．两个点 D．圆 【完整解答】由题意，， ∴x＝1，y＝1或x＝﹣1，y＝﹣1， ∴方程（x﹣y）2+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是两个点（1，1）或（﹣1，﹣1）． 故选：C． 2．（2020春•静宁县校级月考）方程x2﹣y2＝0对应的曲线是（　　） A． B． C． D． 【完整解答】方程x2﹣y2＝0， 可得y＝±x， 曲线表示两条相交直线， 故选：C． 3．（2020秋•海淀区校级期中）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（　　） A．两条平行线 B．一条直线和一条射线 C．两条射线 D．一条直线 【完整解答】方程（x+y+6）＝0，即为x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0， 由于直线x+y＝3与直线x+y+6＝0平行，且直线x+y+6＝0的上方， 所以x+y+6＝0且x+y﹣3≥0的解集为∅， 所以方程（x+y+6）＝0表示的曲线为直线x+y﹣3＝0， 故选：D． 4．（2020秋•皇姑区校级期中）已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（　　）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 【完整解答】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020， 将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，曲线C关于y轴对称； 将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，曲线C不关于x轴对称； 将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，曲线C不关于原点对称； 将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，曲线C不关于直线y＝x对称． 故选：B． 5．（2020秋•徐汇区期中）如果曲线C上任一点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解，那么下列命题中正确的是（　　） A．曲线C的方程为F（x，y）＝0 B．F（x，y）＝0的曲线是C C．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上 D．曲线C上的点都在方程F（x，y）＝0的曲线上 【完整解答】由曲线的方程和方程的曲线的定义可得：如果曲线C上任一点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解，D正确； 曲线C的方程是F（x，y）＝0的子集，所以A，B，C不正确； 故选：D． 6．（2021春•自贡期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【完整解答】曲线C：x2+y2＝1+|x|y （如图）， 曲线C上任意一点（x，y）到原点的距离为， 当x＝0时，代入曲线可得y2＝1，∴y＝±1，任意一点（x，y）到原点的距离为＝1． 当x＞0时，由x2+y2＝1+xy，可得x2+y2﹣1＝xy≤，（当x＝y时取等）， ∴x2+y2≤2，∴任意一点（x，y）到原点的距离为≤， 即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过， 根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过， 故曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为， 故选：B． 7．（2021•衡阳二模）若相异两实数x，y满足，则x3﹣2xy+y3的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【完整解答】两式做差消元得：（x﹣y）（x+y﹣1）＝0⇒x+y＝1（x≠y）， 反代回去得：x2﹣x﹣1＝0，同理可得：y2﹣y﹣1＝0， 由同构及韦达定理有：， 继而有：x3﹣2xy+y3＝x（2﹣y）+2+y（2﹣x）＝6． 【另处理降次】（x3﹣x）+（y3﹣xy）＝x（x2﹣y）+y（y2﹣x）＝x（2﹣2y）+y（2﹣2x）＝6． 故选：D． 8．（2021春•秦淮区校级月考）关于x，y的方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1）（m∈R）表示的曲线不可能是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【完整解答】对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1）， ①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴； ②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴； ③当m≠1，且 m≠0时，方程即， 若m＝m﹣1，即m∈∅时，方程不可能是圆； 若m（m﹣1）＜0，方程表示双曲线； 若m（m﹣1）＞0且m≠m﹣1，方程表示椭圆． 综合可得：方程不可能是抛物线与圆． 故选：C． 二．填空题 9．（2020春•扬州月考）已知存在两个正数x和y满足，则实数a的取值范围是　[1，25]　． 【完整解答】由x＞0，y＞0，则有（4x+）（