考点16 导数综合应用-2022年高考数学（理）一轮复习基础夯实限时训练

考点16导数综合应用 一、解答题 1．（2021·吉林长春市·高三）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围、 【答案】：（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）． 【解析】：定义域为， 当时，在上 所以在定义域上单调递增； 当时，令有 令有 所以在上单调递减，在上单调递增. 令，由及为正数知， 在处取最小值， 所以恒成立等价于， 即， 整理得 令， 易知为增函数， 且 所以的的取值范围是 2．（2021·安徽安庆市·高三一模）函数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，求函数的零点个数. 【答案】：（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】：（1）由题意，函数，可得， 当时，，在上为单调增函数，此时无极值； 当时，令，解得， 所以在上为单调增函数， 令，解得，在上为单调减函数， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上所述： 当时，无极值， 当时，，无极大值. （2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且， 又由，若时，； 若时，； 当，即时，无零点； 当，即时，有1个零点； 当，即时，有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. 3．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设函数. （1）若，求； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】：（1）；（2）. 【解析】：（1）定义域为，. 因为，，故，所以. 此时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以. 综上. （2）时，等价于.① 若，①式成立. 若，由（1）可知，所以. 当时，.①不成立. 综上的取值范围为. 4．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】：（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】：（1）， 当时，，在上单调递增， 当时，，令，解得：， 令，解得：， 故在递增，在递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在递增，在递减. （2）证明：由（1）知，当时，， 令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故的最大值是，故即， 故， 故， 故当时，. 5．（2021·山东高三）设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 【答案】：（1）；（2）证明见解析. 【解析】：（1）定义域为，， 当时，，即在上单调递增，不合题意，； 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 存在，使得成立，则，即， 又，， 即， 令，则， 在上单调递增，又，， 即实数的取值范围为. （2）当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 由且知：； 令，， 则， 在上单调递增，，即； ，又，； ，，又且在上单调递减， ，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 考点16导数综合应用 一、解答题 1．（2021·吉林长春市·高三）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围、 2．（2021·安徽安庆市·高三一模）函数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，求函数的零点个数. 3．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设函数. （1）若，求； （2）当时，，求的取值范围. 4．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 5．（2021·山东高三）设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $