第一章 集合与常用逻辑用语 专题03 充分、必要条件的探求 -2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 专题03 充分、必要条件的探求 从近几年高考看，这部分内容多数是对充分、必要条件的考查，题型以选择题、填空题为主，分值5分，属中低档题．内容是以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体、考查充要条件的判定．预计今后仍会延续这一命题方向，在知识的交汇点命题，重在考查学生的逻辑推理能力． 【题型导图】 类型一 充分、必要，充要条件的判断 例1：（2021·上海市延安中学高一期末）设、、为三个集合，“”是“”的（ ）条件． A．充分不必要 B．充要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】当时，可以推出，但是当时，推出或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A. 【变式1】一元二次函数 图象的顶点在原点的充要条件是（ ) A． ， B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 图象的顶点坐标为 ，由于该二次函数的顶点在原点，则 ，则 ， ，因此，一元二次函数 图象的顶点在原点的充要条件是 . 【变式2】下列哪一项是“ ”的必要条件（ ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，“选项”是“ ”的必要条件，表示“ ”推出“选项”，所以正确选项为D. 【变式3】（2021·福建三明一中高一月考）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件． A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【解析】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选：A. 【痛点直击】判断方法要明确 1.定义法：（1）充分条件：若，则p是q充分条件. （2）必要条件：若，则p是q必要条件 （3）充要条件：若，且，则p是q充要条件，即： p是q充分不必要条件：，且； p是q必要不充分条件：qp，且； p是q既不充分又不必要条件：且. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 2.逆否法： 设“若p，则q”为原命题，那么： ①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； ④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． 3.集合法： 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： ①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A是B的真子集时，则p是q的充分不必要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B真子集是A时，则p是q的必要不充分条件； ③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件． 类型二 充要条件中的参量取值范围 例2. （2021·重庆市清华中学校高一月考）已知::，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】，，因为是的充分不必要条件， 设代表的集合为，代表的集合为，所以 所以或 解不等式组得或， 所以，即实数的取值范围是. 【变式1】（2021·安徽省太和中学高一月考）已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则_______.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】2； 【详解】由条件可得，因为是的充要条件， 所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 【变式2】（2021·江西九江一中高一月考）设p：﹣m≤x≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为__，若p是q的必要条件，则m的最小值为__. 【答案】1； 4 【详解】解：设A＝[﹣m，m]，B＝[﹣1，4]， 若p是q的充分条件，则 所以，所以0＜m≤1， 所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，则 ， 所以，所以m≥4， 则m的最小值为4.故答案为：1，4. 【变式3】（2021·重庆市万州二中学高一月考）“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为________；一个必要不充分条件可以为________. 【答案】（答案不唯一）； （答案不唯一） 【详解】因为一元二次方程有两个正实数根， 所以，解得. 所以一元二次方程有两个正实数根的充要条件为. 故一元二次方程有两个正实数根的一个充分不必要条件可以为； 一元二次方程有两个正实数根的一个必要不充分条件可以为. 【痛点直击】(1)由命题的充要条件求参数的问题，首先需要熟记充分条件与必要条