专题05 函数的周期性和对称性形影不离-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

( 学会 解题 + 万能模板 ) 专题05 函数的周期性和对称性形影不离 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 类型一 函数的周期性的判定及应用 万能模板 内 容 使用场景 几类特殊函数类型 解题模板 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】第一步，准确求出函数的周期性： 由，可知是周期为的函数， 第二步，运用函数的周期性求解实际问题： 令故，代入解析式，得，解得， 从而， 故，故选C. 【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 【变式演练1】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】 由得出函数的周期，所以代入解析式可得答案. 【详解】 由满足， 所以函数的周期，且当时，， 所以. 故选：C. 【变式演练2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 【变式演练3】函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有 ，所以.选. 考点：抽象函数的周期性． 类型二 函数的对称性问题 万能模板 内 容 使用场景 几类特殊函数类型 解题模板 记住常见的几种对称结论： 第一类 函数满足时，函数的图像关于直线对称； 第二类 函数满足时，函数的图像关于点对称； 第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称. 例2 ．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ） A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数 【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第八次质量检测数学试题 【答案】ABD 【分析】 由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解. 【详解】 解：函数的图象关于直线对称， 函数的图象关于直线对称， 对有， 函数的图象关于中心对称， ，即， 又，即， ， ，即，， 的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确； 当时，，， 当时，，，即， 当时，， 又函数的图象关于直线对称， 在一个周期上，， 在上的最大值为4，选项B正确； ，选项C错误. 故选：ABD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键是，根据的图象关于直线对称，及对有，推导出，进而得. 例3 已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：由得，又， ，，的图象关于点对称，所以 ，由可得 ，故选D. 考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称， ，即，故点，关于点对称，故，故选B. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的. 【变式演练4】已知函数，现有下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为π； ②f(x)的图象关