专题04 函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

( 学会 解题 + 万能模板 ) 专题04 函数的奇偶性的判断及其应用 【高考地位】 函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题． 类型一 函数奇偶性的判断 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 确定函数的定义域； 第二步 判断其定义域是否关于原点对称； 第三步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论. 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3). 【解析】（1）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得，所以函数的定义域为 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。 （2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得，所以函数的定义域为 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为，所以定义域不关于原点对称 第三步，得出结论. 所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。 （3）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得或，所以函数的定义域为或 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为或，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步，得出结论. 所以函数为寄函数。 【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证或其等价形式是否成立． 【变式演练1】【四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文科）】下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可. 【详解】 解：A选项：为奇函数，在和上单调递减，故A错误； B选项：定义域为，但在定义域上不单调，故B错误； C选项：，定义域为且为奇函数，取，，取，，，，在上不是单调增函数，故C错误； D选项：，定义域为且为奇函数，，故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查判断已知函数的奇偶性和单调性，属于中档题. 结论点睛：（1）奇函数加奇函数为奇函数； （2）偶函数加偶函数为偶函数； （3）奇函数乘奇函数为偶函数； （4）偶函数乘偶函数为偶函数； （5）奇函数乘偶函数为奇函数. 【变式演练2】【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】函数部分图象大致形状为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义可证是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象. 【详解】 由解析式知：，即是奇函数，且，即可排除A、B； 因为，所以时有单调递减，排除D； 故选：C 【变式演练3】若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于________． 【来源】江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期一模数学试题 【答案】 【分析】 构造函数并讨论其奇偶性，再利用函数与的关系即可作答. 【详解】 函数，且，， 即是其定义域上的奇函数，其图象关于点(0，0)对称，而， 则图象可由图象右移一个单位而得，于是图象关于点(1，0)对称， 因存在个零点且点(1，0)不在图象上，从而为偶数， 设这个零点依次为，点与关于点(1，0)对称，即， 所以. 故答案为： 【点睛】 关键点睛：涉及某些函数的所有零点和的问题，探讨函数的对称性并利用这个性质是解题的关键. 类型二利用函数的奇偶性求函数的解析式 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 首先设出所求区间的自变量； 第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围； 第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式. 例2 ．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，求出函数的解析式. 【答案】. 【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量： 设则， 第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围： 所以， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式： 所以函数的解析式为 【点评】（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数在R上的解析式，一定不要忘记时，函数的值. 例3 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】，. 【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量： 用代换解析式中的，所以， 第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围：