专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

( 学会 解题 + 万能模板 ) 专题03 函数的单调性和最值的处理途径 【高考地位】 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 方法一 定义法 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：； 第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 例1 已知函数（且）. （1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题 【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）. 【解析】 （1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明； （2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围. 【详解】 （1）由可得，则的定义域为， ， 当时，的增区间为，减区间为. 证明：设，的增区间为，减区间为， 当时，设，可得，，即，可得在递增； 设，可得，， 即，可得在递减. （2）由，，可得， 所以，即为，解得， 即的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 例2 已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）. 【解析】 （1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性； （2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】 （1）函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， ， 因为，所以，，， 即，故函数在上单调递减. （2）因为， 故为奇函数， 所以， 由（1）知，函数在上单调递减， 故，即对于任意恒成立， 所以，令，则， 因为，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算， 3.定号：确定的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】 A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意； B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意； C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意； D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意. 故选：AD 例3 定义在上的奇函数，对任意时，恒有. （1）比较与大小； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；（3）. 【解析】 试题解析：（1）利用作差法，即可比较与大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定的范围，再分离参数求最值，即可求的取值范围. 试题解析：（1）第一步，由得出： ∵，， ∴， 第二步，由奇偶性得出结论： ∴∴. （2）第一步，取值、作差： 任取且， . 第二步，判断符号： ∵，，∴， 第三步，下结论： ∴函数在上为单调递增函数. （3）. 考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）若定义域为，解不等式. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3） 【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1