专题02 常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

( 学会 解题 + 万能模板 ) 专题02 常见函数值域或最值的经典求法 【高考地位】 函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 方法一 观察法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1函数的值域_____________． 【答案】 【解析】由在上单调递增，∴在上单调递增，而当时，；当时，. ∴函数值域为. 【变式演练1】求函数的值域. 【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数的值域是. 方法二 分离常数法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 例2 求函数的值域. 【解析】第一步，观察函数类型，型如； 第二步，变形： 函数， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域： 根据反比例函数的性质可知：，所以，所以函数的值域为. 【变式演练2】【北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测】若函数的定义域是，则的值域是___________. 【答案】 【解析】由 当时，，所以，则 所以，即的值域为 故答案为： 方法三 配方法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例3 定义在上的函数的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成： 由 +10+241 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域： 因为, 所以1 即函数的值域是 【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当 时,,因此当时, .故当,故应选C. 考点：二次函数的图象和性质. 方法四 反函数法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域； 第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】 【解析】第一步，先判定函数在区间上是单调递增的； 第二步，求出函数的值域； 第三步，根据反函数的性质得出反函数在为增函数； 所以在为增函数； 所以的最大值为 【变式演练4】求函数的值域. 方法五 换元法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 例5 求函数， 的值域.. 【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式： ，设， 第二步，求出换元后函数的定义域： ∵，∴， 第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ， 综上所述：函数的值域为. 【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数的值域为______. 【答案】 【解析】由题可得，，令，则， 即，当，即时，； 当，即时，要使方程有解，则需，得. 综上， 例6 求函数的值域. 【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）： 令， 所以原函数可化为 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是， 故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为. 【变式演练6】 求函数，的值域. 方法六 判别式法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范 围，即得函数的值域. 例7 求函数的值域. 【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式： 因为 所以 第二步，根据判别式得出函数值的取值范围： 时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实数根即， 当时，方程化为7=0，显然不能成立，所以， 将，分别代入检验的不符合方程，所以 【变式演练7】求函数的值域. 【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为. 方