专题01 函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题1 函数问题的灵魂——定义域 【高考地位】 在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小． 方法一 直接法 万能模板 内 容 使用场景 函数的解析式已知的情况下 解题模板 第一步 找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形： （1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 的底数不为零； （4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数的定义域为． 第二步 列出不等式（组）； 第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数的定义域． 【例1】（2021·新沂市第一中学高三模拟）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得解得或.所以原函数的定义域为. 故选：C. 【变式演练1】（2021·广东高三模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即， 函数的定义域为，则， 所以， 故选：C. 例2．【黑龙江省大庆市第四中学2020届月考】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有意义， 则， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【名师点睛】 本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题. 【变式演练2】求函数的定义域． 【答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为． 【解析】要使原式有意义需要满足，即 当时，是上的增函数，所以； 当时，是上的减函数，所以； 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为． 例3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数的定义域为，所以在上恒成立，即方程至多有一个解，所以，解得，则实数取值范围是． 故选A． 【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题． 【变式演练3】已知函数f（x）=的定义域是R，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A． 方法二 抽象复合法 万能模板 内 容 使用场景 涉及到抽象函数求定义域 解题模板 利用抽象复合函数的性质解答： (1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域： 只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域． (2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域． 例4．求下列函数的定义域： （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）令-2≤—1≤2 得-1≤≤3，即 0≤≤3，从而 -≤≤ ∴函数的定义域为． （2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈∴的定义域为． （3）由题得，∴函数的定义域为． 【名师点睛】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域．第2小题就是典型的例子；（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，在求，即为所求函数的定义域． 【变式演练4】（2021·全国高三模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得． 因为有定义，所以当时，由，得； 当时，由，得； 当时，，恒成立． 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 【变式演练5】【山东省泰安市2020届高三6月三模】已知函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令即，解得. 若有意义，则即. 故选：D. 【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 【变式演练6】（2021·湖北襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】令，则， 在上单调递增，，，， 的定义域为. 方法三 实际问题的定义域