专题17任意角、任意角三角函数及弧度制-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题17任意角、任意角三角函数及弧度制--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1．了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)；了解终边相同的角的意义；了解弧 度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示 任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号． 二、教学建议 （1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角； （3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 三、自主梳理 1．角的概念的推广（☆☆☆） (1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角． (2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限． (3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}． （4）象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 2．角的度量（☆☆☆） (1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角． (2) 弧度制与角度制的关系：1°= 弧度(用分数表示)，1弧度=度(用分数表示)． (3) 弧长公式：l=|α|r． (4) 扇形面积公式：S=rl=|α|r2． 3．任意角的三角函数的定义（☆☆☆） 设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r=)，则sin α=，cos α=，tan α=． 4．三角函数的定义域（☆☆☆） 在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R，R，． 5．三角函数的符号规律（☆☆☆） 第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．简称：一全、二正弦、三切、四余弦． 6．三角函数线（☆☆☆） 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 四、高频考点+重点题型 考点一、角的扩充与表示 例1-1（角的终边与角的关系） （2021·北京清华附中高三其他模拟）已知．则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解. 【详解】 ，， 则或， 由得， 由得， 显然，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 对点训练1．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___． 【答案】（满足即可） 【解析】 根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】 与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 例1-2（象限角） （2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的