专题1.3 集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题1.3 集合与幂指对函数相结合问题 考纲要求: 1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有2n个，真子集有2n－1个. 3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算. 基础知识回顾: 1、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 ∁UA 图形表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 2、集合的运算性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B； ②A∩A＝A，A∩ ＝ ； ③A∪A＝A，A∪ ＝A； ④A∩∁UA＝ ，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A，∁U（A∪B）=∁UA∩∁UB,∁U（A∩B）=∁UA∪∁UB 应用举例: 类型一：集合与对数函数 例1．（2021·全国高三专题练习）已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元一次不等式以及对数不等式得到集合 和 ，结合交集的定义计算即可. 【详解】由题可得集合 ， ，所以 ，故选A． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题. 例2．（2021·江西高三其他模拟）全集 ，集合 ，集合 ，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由图可得，阴影部分表示的集合为 .求出集合 ，即求 . 【详解】 ∵集合 ， ，由Venn图可知阴影部分对应的集合为 ，又 或 ， . 例3．（2021·辽阳市第四高级中学高三）如图，已知 是实数集，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，阴影部分可表示为 ，故选B． 例4．（多选题）【2021重庆市高考康德卷高三模拟调研卷数学试题】已知全集 ，则集合 可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先由给定条件求出全集U，再求出 可得集合B中必含元素，然后经验证即可判断得解. 【详解】由 得 ，即 ，于是得全集 ， 因 ，则有 ， ，C不正确； 对于A选项：若 ，则 ， ，矛盾，A不正确； 对于B选项：若 ，则 ， ，B正确； 对于D选项：若 ，则 ， ，D正确. 类型二：集合与指数函数 例5．（2021·安徽高三）设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先解出集合 、 ，并确定阴影部分区域所表示集合的意义，即可得出阴影部分区域所表示的集合. 【详解】 解不等式 ，即 ，解得 ， ， ，则 .图中阴影部分所表示的集合为 ，故选C. 【点睛】本题考查集合运算，解题的关键就是确定阴影部分所表示的集合的意义，考查运算求解能力，属于中等题. 例6．（2021·四川绵阳中学高三其他模拟）已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得 . 【详解】 因为集合 ， ， 所以 ， 例7．（2021·上海市实验学校）已知集合 ， ，若 ． （1）求实数a的取值范围； （2）求 的最值． 【答案】（1） ；（2）最小值 ，最大值18． 【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A,利用绝对值不等式的解法化简集合B,根据交集的性质列不等式求解即可；（2） 由（1）得 ，则 ，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知 , ，解得 故所求的 的取值范围是[1，2] （2）∵ 由（1）得 ，则 ∴当 时，即 时， ；当 时，即 时， 故 的最小值为 ；最大值为 【点睛】根据集合的交集结果求参数，一般需要求出集合，根据结果建立不等式，即可求出参数的取值范围，属于中档题. 类型三：集合与指数、对数函数 例8．（2021·福建省福州第一中学高三）已知全集 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的性质确定集合 ，然后由集合运算法则计算． 【详解】 ， ， ，所以 ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键． 例9．（2021浙江高三其他模拟）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定集合 中的元素，然后再由集合的运算法则计算． 【详解】由 得 或 ，∴ ， ， ， ， ，∴　 ，即 ，又 ，∴ 或2