专题1.1 如何破解集合间的关系类问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题1 如何破解集合间的关系类问题 考纲要求: 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 基础知识回顾:集合与集合之间的关系 1．集合间的基本关系 表示 关系　　　 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 3.集合的运算性质 并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． 交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． 补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A． 应用举例: 招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解． 【例1】（2021·湖北华中师大一附中高三）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】用集合 表示除草优秀的学生， 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集 表示，则 表示除草合格的学生，则 表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论． 【详解】用集合 表示除草优秀的学生， 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集 表示，则 表示除草合格的学生，则 表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为 ，两个项目都是合格的人数为 ，由图可得 ， ，因为 ，所以 ． 【点睛】本题考查集合的应用，解题关键是用集合 表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值． 【例2】（2021·湖北高三其他模拟）已知全集 , ，则A集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定全集 中元素，画出Venn图可得． 【详解】由题意 ，用Venn图表示集合 ，依次填写 ， ， ，最后剩下的数字3只有填写在 中， 所以 ． 【例3】（2021·广东高三三模）已知全集 ，集合 ，集合 ，则阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据Venn图可知，阴影部分表示的集合为 ．求得集合A与集合B，即可表示出阴影部分的集合． 【详解】由图可知，阴影部分表示为 ,因为全集 ，集合 ，集合 所以 ， 则 ,即 . 【例4】（2021·全国高三其他模拟）若集合 ， ， 满足 ，则下面选项中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的结果可知 ，结合韦恩图即可判断各选项的正误. 【详解】由 知： ，即A错误， ∴ ，即B错误；仅当 时 ，即C错误； ，即D正确. 【例5】（2021·广东高三二模）图中阴影部分所对应的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转化为集合语言为 ，右边部分在B内在A外，转化为集合语言为 ，取两个集合的并集即可得解. 【详解】图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即 ， 招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 【例6】（2021泊头市第一中学）集合 或 ， ，若 (R为实数集)，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，结合数轴找出 的范围即可. 【详解】∵全集 ， 或 ， ，∴ ， 结合数轴可知，当 时， ，则 的范围为 ， 【点睛】本