考点18 平面向量的数量积及应用举例-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点18 平面向量的数量积及应用举例 【命题趋势】 本节在高考中主要考查向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，主要以小题的形式出现，难度不大． 【重要考向】 本节主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象核心素养． 平面向量数量积的运算 平面向量数量积有两种计算公式： 一是夹角公式； 二是坐标公式. 【典例】 1．在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件即可得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可． 【详解】解：如图，根据题意：，且，，，． 故选：． 【点睛】本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型. 平面向量中的投影问题 解题技巧： 1、 合理利用投影的计算公式； 2、 转化为向量的数量积进行运算. 【典例】 2．若向量和满足，则向量在向量上的投影为（ ） A． B． C．－1 D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量的数量积与投影的定义，计算即可． 【详解】解：， 所以， 所以，所以， 向量在向量上的投影为． 故选：． 【点睛】本题考查向量的数量积以及向量投影的几何意义，属于基础题. 平面向量中的夹角问题 解题技巧： 1、夹角的计算公式； 2、利用坐标求夹角. 【典例】 3．已知非零向量，满足且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设＝1，由得数量积为0，得出，再由数量积定义求得夹角． 【详解】设＝1，因为，所以，， 所以，，又， 所以．故选：D． 【点睛】本题考查了利用数量积几何意义求向量夹角，属于基础题. 1．已知正三角形的边长为2，点满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，分别为线段上的两个三等分点，若，则角为（ ） A． B． C． D． 4．已知非零平面向量满足，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．如图等腰梯形中，，，是梯形的外接圆的圆心，是边上的中点，则的值为_______． 7．已知，，且. （1）求向量与的夹角大小； （2）求. 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_________． 2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量，若，则__________． 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量满足，则_________. 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量．若，则________． 5.（2021年高考浙江） 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 6．（2020年高考全国III卷理数）已知向量a，b满足，，，则 A． B． C． D． 7.（2020年新高考全国Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 8.（2020年高考全国II卷理数）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 9.（2020年高考江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ． 10．（2019年高考全国I卷理数）已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． 11．（2019年高考全国II卷理数）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ） A．−3 B．−2 C．2 D．3 12．（2019年高考北京卷理数）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2019年高考全国III卷理数）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 14.（2019年高考江苏卷）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 15. （2019年高考浙江卷）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 1．在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知 ，，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，