考点15 正、余弦定理及解三角形-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点15 正、余弦定理及解三角形 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变形等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题． 【重要考向】 本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养． 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 【典例】 1.在中，内角，，对边的边长分别是，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理可得答案； （2）依题意及正弦定理可得及，由（1）知，由此可得，再利用二倍角公式可得答案. 【详解】（1）由化简， 得，由正弦定理，得， 由余弦定理得，又，所以. （2）因为，，所以由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 所以， 所以. 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路： （1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. （2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 【典例】 2.在中，设角、、所对的边分别为、、. （1）若，，的面积，求、的值； （2）若，试判断的形状． 【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形. 【分析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式可得出关于、的方程组，即可解得、的值； （2）利用三角恒等变换思想化简得出，分和两种情况讨论，即可得出结论. 【详解】（1）由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，可得， 所以，，解得； （2）因为，即， 即， 即. ①当时，因为，则，此时，为直角三角形； ②当时，可得，即，此时，为等腰三角形. 综上所述，为直角三角形或等腰三角形. 三角形的面积问题 求三角形面积的方法： 1、若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解． 2、若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【典例】 3.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （1）的值： （2）和的面积. 条件①：，； 条件②：，. 【答案】选①：（1）；（2），；选②：（1）；（2），. 【分析】 选①：（1）利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的值； （2）利用正弦定理求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果； 选②：（1）求出、的值，利用正弦定理可求得的值； （2）利用两角和的正弦公式求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】 选择条件①：（1），，， ，解得； （2），，则， 由正弦定理得， ； 选择条件②：（1），，、， 所以，，， 由正弦定理得，可得； （2）， . 三角形中的几何计算问题 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中. 【典例】 4.如图，在中，点在边上，，，，，则的长为_______.． 【答案】 【分析】在中先利用余弦定理求出，然后在利用余弦定理求出，从而可得的值，进而可求出的长 【详解】 解：，，， 所以， 所以， 所以， 故， 又，所以. 故答案为： 1．在中，角、、所对的边分别是，，，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 3．在中，已知，且，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为___________. 6．在中，若，角B的平分线BD交AC于D，且，则的面积是_