考点14 三角恒等变换-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点14 三角恒等变换 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主，解答题也会与正余弦定理结合考查． 【重要考向】 本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用． 三角恒等式的化简与证明 三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下： 1发现差异——观察角、名、形三方面的差异； 2寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； 3合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. 【典例】 1.的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先把题设中的三角函数式化为，分子分母同乘以后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数式的化简与求值，解题中注意根据角的两倍关系来选取合适的三角变换公式化简，本题属于中档题. 三角恒等变换的应用 解题技巧： 讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y＝Asinωx＋φ，y＝Acosωx＋φ，y＝Atanωx＋φ的形式才能进行讨论. 【典例】 2.函数的一个对称中心是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【分析】由题意，由得， 因此是一个零点，是一个对称中心． 本题考查辅助角公式以及正弦函数的性质，属于常考题型． 利用“齐次式”求值 方法指导： 题目中出现正切值，或者求正切值，可化简为“齐次式”求解,弦化切思想应用于以下两方面： （1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切； （2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切． 【典例】 3.已知，则 ． 【答案】 【分析】由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，则sin2α+sin2α=. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 辅助角公式的应用 辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)． 4. 已知函数，则f(x)的最小正周期为______；若f(x)在区间上的最大值为，则m的最小值为______． 【答案】1 ； 【分析】化简得，根据周期公式可得周期，转化为在区间上的最大值为1，结合正弦函数的图象列式可得的范围，进而可得最小值. 【详解】因为， 所以的最小正周期， 因为在区间上的最大值为，所以在区间上的最大值为1， 因为，所以，所以，即，所以的最小值为. 故答案为：1，. 【点睛】本题考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式，考查了正弦型函数的最小正周期，考查了正弦型函数的最值，属于中档题. 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．若，且，则（ ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期和最小值分别是（ ） A．和 B．和-2 C．和 D．和-2 5．已知，是方程的两根，则________． 6．已知函数. （1）求；（2）求在上的值域. 7．已知函数． （1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值． 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）（ ） A． B． C． D． 3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（ ） A． B． C．