第15讲 指数函数-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第15讲 指数函数 知识一 指数函数的定义 指数函数的定义 当底数a固定，且a>0，且a≠1时，等式y＝ax叫确定了变了y随变量x变化的规律，称为底为a的指数函数做指数函数（exponential function）.其中x是自变量，函数的定义域是R. 思考：1.为什么底数应满足a>0且a≠1? ①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a＜0，例如y＝(－4)x，对于当x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. 2.指数函数的解析式的特征：①a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1. 题型一、指数函数的概念与解析式或函数值 【例1】(1)（2020年全国课时练习）给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】　B 【解析】　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数． (2)（2020年全国课时练习）若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 【答案】　C 【解析】　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1， 解得a>，且a≠1.故选C. 方法总结:判断一个函数是否为指数函数的方法 ①底数的值是否符合要求． ②ax前的系数是否为1. ③指数是否符合要求． (3)(2021年上海高一期中）若指数函数y=ax（a>0,a≠1)的图像经过点（2，9），则该指数函数的表达式为则 . 【答案】y=3x. 【解析】因为指数函数y=ax（a>0,a≠1)的图像经过点（2，9），所以9=a2，解得a=3,所以该指数函数的表达式为y=3x. 方法总结:(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 题型二、指数函数的定义域与值域 【例2】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）； （2）； （3）； （4） y＝4x－2x＋1. 【答案】（1）定义域，值域为且； （2）定义域，值域；（3）定义域R，值域(0,16]；（4）定义域为R，值域. 【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为. （2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为. （3）函数的定义域为.因为，所以. 又，所以函数的值域为. (4)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值， ∴函数的值域为. 拓展延伸 本例(4)的函数变为“y＝4x－2x＋1，x∈[0,2]”，求其值域． 【答案】[1,13]. 【解析】y＝(2x)2－2x＋1＝， ∵x∈[0,2]，∴2x∈[1,4]， ∴当2x＝1，即x＝0时，y取最小值1； ∴当2x＝4，即x＝2时，y取最大值13， ∴函数的值域为[1,13]． 方法总结:函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 类型 限制条件 示例 分式 分母不为0 偶次 根式 被开方数 为非负数 零次幂 底数不为0 对数函数（下一讲内容） 真数大于0 (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型三、指数函数的图像 【例3】(1)（2020年上海高一必修1教材例题）分别描绘指数函数y=2x及y=3x的大致图像. 【答案】图像见解析. 【解析】先在相应的图像上取一些特殊的点. 由 2-2=，2-1= , 20= 1, 21=2 , 22=4 ,可知指数函数y=2x的图像必过下面的点： (-2,), (-1,), (0,1), (1,