第14讲 幂函数-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第14讲 幂函数 知识一 幂函数的定义与图像 1.幂函数的定义 当指数a固定，等式y＝xa确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数（power function）.其中x是自变量，a是常数，且a∈R. 2.幂函数的解析式的特征 (1)xa的系数为1；(2)底数x为自变量；(3)幂指数a为常数． 3.幂函数的定义域 使得xa有意义的x的取值范围，称为此幂函数的定义域. 随着指数a值的不同，幂函数的定义域可以是不相同的. 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域（课本第五章112页）. 4.幂函数的图像 描绘函数的大致图像的一般步骤是：列表—描点—连线. 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【答案】m＝－3或1，n＝. 【解析】由题意得 解得 所以m＝－3或1，n＝. (3)（2021·上海高一期末）在幂函数的图像上，则该幂函数的表达式为____. 【答案】 【解析】由题意可得，解得，因此，该幂函数的解析式为. 故答案为：. 方法总结:幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xa(a为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xa的系数为1.形如y＝(3x)a，y＝2xa，y＝xa＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xa(a为常数)这一形式． 题型二、幂函数的定义域与值域 【例2】（2020·上海课时练习）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】3 【解析】①对一切实数都有意义，所以定义域为，值域为. ②当x≥0时才有意义，所以定义域为，值域为. ③，对一切实数都有意义，则定义域为，值域为. ④，当x≠0时，该函数才有意义，定义域为，值域为. ⑤，当x≠0时，该函数才有意义，则定义域为，值域为. ⑥，对一切实数都有意义，则定义域为，值域为. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 方法总结:幂函数的定义域与值域时，可以把幂函数改写为分数指数幂来得到. 题型三、画幂函数的图像 【例3】已知幂函数f(x)＝xα的图像过点P，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与值域. 【答案】图像见解析；定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 【解析】因为f(x)＝xα的图像过点P， 所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2， f(x)的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). 举一反三 1．已知f(x)＝(m＋1) 是幂函数，则m等于________． 【答案】0 【解析】由题意可知m＋1＝1，即m＝0. 2．下列函数中的幂函数有________． ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x； ④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 【答案】　①④ 【解析】由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数． 3.（2021·上海华师大二附中高一期末）已知幂函数的图像过点，则______. 【答案】 【解析】因为幂函数的图像过点 所以，解得，即 所以 故答案为： 4.（2020·上海市洋泾中学高一期末）幂函数的图像经过点，则的表达式为_______． 【答案】 【解析】解：设幂函数， ∵幂函数的图像经过点，则，得 则的表达式为， 故答案为：． 5.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________． 【答案】16 【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 6.（2020年全国课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【解析】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当或时，满足函数y＝xα的定义域为R， 故选：A. 7.（2021·上海市川沙中学高一期末）幂函数的定义域为________________. 【答案】 【解析】因为，所以，所以函数的定义域为 故答案为： 8.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）设幂函数的图像过点，